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come cancello questo argomento?

Immagino che $n$ sia intero... E allora avresti dovuto postarlo in Teoria dei Numeri...
Comunque $n^2+340=m^2$, ovvero $(n-x)(n+x)=340$

Devo trovare quanti n perché la somma con 340 dia un quadrato perfetto.
Anche se ancora non so come cancellarlo posto la mia soluzione...

$ n^2+340=m^2 $

$ m^2-n^2=340 $

$ (m+n)(m-n)=340 $

$ (m+n)(m-n)=17*2*2*5 $

le combinazioni dovrebbero essere: $ \binom{4}{2} $
ma credo di sbagliarmi.

Penso che ci siano due soluzioni, cioè $ n=12, m=22 $ e $ n=84, m=86 $
Infatti i due fattori hanno la stessa parità, quindi devono essere per forza entrambi pari (il prodotto è pari).
Quindi puoi già assegnare i due fattori 2.

Per i fattori dispari puoi assegnarli in $ 2^2 $ modi diversi, ma solo la metà vanno bene in quanto sai che $ m+n>m-n $.
Puoi assgnarli entrambi a $ m+n $ oppure 17 a $ m+n $ e l'altro a $ m-n $ e trovi le due soluzioni.

bè dal tuo ragionamento il mio numero di soluzioni sembra giusto (6 combinazioni) anche se ne devo togliere 2 per l'accortezza m+n>m-n

si ma per i dispari ti rimangono due fattori che sono 2 e 2 non puoi mettere 17 e 5 entrambi a n+m ...e poi come fissi il valore?

Se ho capito bene il tuo dubbio...

Se i due fattori fossero entrambi dispari, allora il prodotto sarebbe dispari. Ma è 340...
Quindi sono entrambi pari e devi assegnare un fattore 2 a testa. Quindi ti rimangono solo i fattori dispari da assegnare: può essere

$ m+n = 2*5*17; \qquad m-n=2 $
$ m+n =2*17; \qquad m-n = 2*5 $

si..tutto molto chiaro..
Diciamo che questo metodo l'ho sfruttato intuitivamente con un problema simile:
Determinare tutte le terne (m,n,p) tali che $ p^n+144=m^2 $ , dove m e n sono interi positivi e p è intero primo.

ho posto n=2 quindi :
$ (m+p)(m-p)=2*2*2*2*3*3 $

p è primo e il prodotto tra i due fattori è per forza pari perché m+p> m-p

perciò ho fatto vari tentativi ed ho elaborato quindi il sistema

$ \left\{\begin{matrix} m+p=3*3*2 \\ m-p=2*2*2\end{matrix}\right. $

quindi mi è uscito p=5 (primo quindi va bene) m=13.

solo che ho qualche dubbio..e per n>2?? Poi si potrebbe fare penso m-p=9 perché 9<16,inoltre vorrei traslare questo post a teoria dei numeri..ma non sono ancora molto pratico dei forum .

Robertopphneimer ha scritto:solo che ho qualche dubbio..e per n>2?? Poi si potrebbe fare penso m-p=9 perché 9<16,inoltre vorrei traslare questo post a teoria dei numeri..ma non sono ancora molto pratico dei forum .

144 e' un quadrato...
E il MCD di due numeri divide la loro differenza

Con questo dovresti farcela

no anche se faccio MCD (144,p^n-m^2)ho paura che p essendo primo non mi dia soluzioni...

Se n è pari puoi sfruttare il fatto che le terne pitagoriche sono della forma

$ a=x^2-y^2;\qquad b=2xy;\qquad c=x^2+y^2 $ x e y interi positivi di diversa parità, relativamente primi e x>y.

Siccome b=2xy=12 allora $ y=2 $ e $ x=3 $ (devono essere di parità diversa, e il viceversa non andrebbe bene perchè x>y)

Ricavi quindi $ m=2^2+3^2=13 $ e $ p^{n/2}=3^2-2^2=5 $

Quindi l'unico n pari è n=1
Se n è dispari non saprei...............

Edit: quello che ho scritto vale per le terne pitagoriche primitive: non so se possa cambiare qualcosa...

Ma anche senza terne pitagoriche...

$p^n=(x-12)(x+12)$

Già già.... Quindi per n>2 p deve dividere 12..........

ad esempio se p fosse 2 una soluzione potrebbe essere p=2,n=8,m=20.....

In pratica devo trovare due potenze di 2 (o di 3) la cui differenza sia 24 (per la soluzione sopra $ 2^5 \mbox{ e }2^3 $) e la media aritmetica delle due è il valore di m desiderato, mentre la somma degli esponenti è n.

Per le potenze di 3 sono $ 3^3 e 3 $ e quindi trovo p=3,n=4,m=15.

se tu vedi con p > 1 all'aumentare di p il valore di n scende...in questo modo penso ci siano solo 3 valori di p.
$ p=2 ,n=8 $

$ p=3,n=4 $

$ p=5,n=2 $

(non capisco ancora come tu abbia trovato che la differenza deve fare 24 e il numero è la media aritmetica..secondo quale ragionamento??$ p|12 $???)

se m+12 e m-12 sono potenze di p allora devi trovare due potenze di p la cui differenza ( $ (m+12)-(m-12) $ ) sia 24 e la media aritmetica sarà $ \frac{(m+12)+(m-12)}{2}=m $

Comunque non esistono altri valori di p perchè p|12 (a meno che uno dei fattori non sia 1, con cui trovi l'eccezione p=5)