OliForum Matematico

Siano $\displaystyle a,b,c>-1$ EDIT: $\displaystyle a,b,c \in \mathbb{R}$
Dimostrare:
$\displaystyle \frac{1 + a^2}{1 + b + c^2} + \frac{1 + b^2}{1 + c + a^2} + \frac{1 + c^2}{1 + a+ b^2} \geq 2$

Mi pareva simpatica

sde vale per $ n_0=0 $ poi per induzione vale anche (per induzione) per $ n_0+1 $ e quindi per tutti gli interi positivi e 0

ho editato visto che mi sono scordato di mettere a,b,c reali...
emh comunque non ho capito dove l'hai tirata fuori l'induzione in ogni caso...

ah ecco no vabè è un induzione banale se tutta quella cosa è maggiore di 2 allora tutta quella cosa è +1 è maggiore di 3

petroliopg ha scritto:ho editato visto che mi sono scordato di mettere a,b,c reali...
emh comunque non ho capito dove l'hai tirata fuori l'induzione in ogni caso...

Ah ecco qui si fa più divertente

diciamo che a occhio posso are queste deduzioni, per a,b,c >0 non è un problema(diciamo stesso ragionamento di prima). Pee evitare di vedere tutte le combinazioni a positivi b negativo etc..
pongo -1<a,b,c <0 vedo che comunque sia il maggiore di 2 c'è perché al denominatore anche con molta differenza tra a,b e c il termine al quadrato si sottrae al termine non al quadrato. Non capisco come dimostrare l'uguale.

Robertopphneimer ha scritto:diciamo che a occhio posso are queste deduzioni, per a,b,c >0 non è un problema(diciamo stesso ragionamento di prima). Pee evitare di vedere tutte le combinazioni a positivi b negativo etc..
pongo -1<a,b,c <0 vedo che comunque sia il maggiore di 2 c'è perché al denominatore anche con molta differenza tra a,b e c il termine al quadrato si sottrae al termine non al quadrato. Non capisco come dimostrare l'uguale.

Senza offesa ma non ho capito assolutamente nulla, riscrivi la dimostrazione per bene e in modo rigoroso

nono tranquillo non mi offendo,diciamo solo che fino ad ora di certo vorrei lavorare con -1< a,b,c <0 perché se sono positivi e maggiori di 0 ovviamente sussiste la disuguaglianza (spero questo almeno sia comprensibile )

per il reso devo ancora pensare a come lavorarci per a,b,c negativi...ancora non ho nessuna idea in mente ,ho buttato giù due considerazioni ma sono (anche a me ora incomprensibili )

Robertopphneimer ha scritto: perché se sono positivi e maggiori di 0 ovviamente sussiste la disuguaglianza

credo sia proprio quello che chiede di dimostrare...

ma scusa allora è troppo semplice...la cosa difficile è quando -1<a,b,c<0
perché per valori positivi ovviamente sono tutti valori che si sommano ad 1...e quindi LHS >RHS. Mi spiego meglio se sono tutti interi ok ,invece se sono tutti o solo alcuni frazionari ci sarà sempre la disuguaglianza perché i numeri a,b,c sono presenti in tutte le somme e quindi in qualsiasi caso ci sarà la disuguaglianza.
Per eseguire una dimostrazione rigorosa potrei partire con un * WLOG $ a^2>b+c^2 $ allora il primo addendo è >1
perciò:

$ 1 \le \frac {2+a+c+2b^2+2a^2+a^2c+c^2+c^3+b^4} {1+a+c+ac+b^2+cb^2+a^2b^2+a^2+a^3} $

$ ac +cb^2+a^2b^2+a^3 \le 1+a^2+a^2c+b^2+c^2+c^3+b^4 $

dato che $ a^2>b+c^2 $ Ho provato a svolgerla. riesco a restringere la disuguaglianza fino a pochi termini ma pi non ho i mezzi per continuarla...Avete qualche consiglio sulla tecnica??(non mi viene in mente come poter applicare le medie.




*Edit

"a occhio" molti ragionamenti sono giusti. Ora non è per cattiveria, prendilo più come un consiglio visto che dovrai tentare una test parecchio difficile a breve: se uno dei correttori leggesse qualcosa di simile, credo, a esser franco, scoppierebbe a ridere. Meno parole e più formule (giuste ovviamente). Se vuoi dimostrarlo per casi specifici, beh, accomodati, ci sono infiniti numeri da tentare.

La formalità non è tutto, ma è ciò che rende il ragionamento apprezzabile al lettore. Ogni strumento che usi va motivato, anche il più banale, richiamando una dimostrazione, un nome noto, o ridimostrandola, purchè venga chiarito alla lettura il suo perché.

In questo caso, se è chiaro ed evidente, rendi ciò "visibile" ad un terzo.

PS. inoltre è proprio la formalità che rende la matematica un linguaggio universale. Immagina il lettore fosse tedesco o cinese: come gli spiegheresti il ragionamento in modo che egli ti comprenda? è un esempio banale, ma rende l'idea della potenza del linguaggio matematico...

ti ho risposto sopra

petroliopg hai perfettamente ragione!!! è proprio quello che mi ostino a fare io !! però non sempre ci riesco...bisogna avere a disposizione molto tempo per prendere familiarità col linguaggio rigoroso e formale della matematica..è una sorta di "labor limae" (concedetemi il latinismo) ma per chi ha cominciato da "poco " è un pò ardua la cosa ..ma non impossibile!! scusate l'OT ma volevo evidenziare quello che avevi detto perchè sarà di grande aiuto a molti! adesso potete continuare a risolvere questa disuguaglianza a me tanto oscura per il momento XD

io queste cose le sto studiando da una settimana(ed infatti si vedono i risultati scarsi)....da quel che ne so anche petroliopg sta studiando da poco...tu che puoi prepararti fallo!! vedrai basta esperienza

quello che intendevo dire è che anche io mi ritrovo in condizioni molto simili alle tue (se non peggio) ,l'unica cosa che ho potuto mettere di mio sin dall'inizio dei miei studi matti è disperatissimi è stata la passione per queste scienze..spero che la fatica dia risultati!! ma è difficilissimo assimilare così tante cose in poco tempo! ma ciò non ci deve fare scoraggiare nè a me nè a te ! dobbiamo avere il CORAGGIO di utilizzare il nostro intelletto! sono sicuro che riusciremo ad ottenere le nostre soddisfazioni