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n!+k non e' sempre primo
Inviato: 12 ago 2012, 10:52
da jordan
Mostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che n!+k non e' primo, dove k e' un intero fissato.
Re: n!+k non e' sempre primo
Inviato: 13 ago 2012, 17:28
da Ido Bovski
- Se $k=0$, prendiamo $n\neq 2$.
- Se $|k|>1$, prendiamo $n>|k|$.
- Se $k=1$, prendiamo $n=p-1$ con $p>3$ primo, poiché $p|(p-1)!+1$ (teorema di Wilson).
- Se $k=-1$, prendiamo $n=p-2$ con $p>5$ primo, poiché $p|(p-2)!-1$ (conseguenza del teorema di Wilson).
Re: n!+k non e' sempre primo
Inviato: 13 ago 2012, 18:03
da scambret
$a!+b$ non è primo se
- $a \geq b$, infatti in questo modo $b$ è minore o uguale ad $a$ e quindi è sicuramente compreso nello sviluppo del fattoriale di $a$;
- ma non è primo anche nel caso in cui $b$ compare nello sviluppo di $a!$, anche con divisori distinti.
Perciò esclusi i casi di $k$ diversi da 1,0 basta che $n \geq k$.
Adesso vedo con 1 e 0
Se $k=0$, allora n è primo con $n \neq 2$.
Il caso 1 non ho idea, però
Edit: fregato sul tempo
Re: n!+k non e' sempre primo
Inviato: 13 ago 2012, 22:14
da jordan
Ido Bovski ha scritto:
- Se $k=0$, prendiamo $n\neq 2$.
- Se $|k|>1$, prendiamo $n>|k|$.
- Se $k=1$, prendiamo $n=p-1$ con $p>3$ primo, poiché $p|(p-1)!+1$ (teorema di Wilson).
- Se $k=-1$, prendiamo $n=p-2$ con $p>5$ primo, poiché $p|(p-2)!-1$ (conseguenza del teorema di Wilson).
Molto bene
