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In un triangolo $\triangle ABC$, siano $D$, $I$ e $N$ rispettivamente il punto medio del lato $BC$, l'incentro e il centro della circonferenza di Feuerbach. Dimostrare che una delle tangenti comuni alle circonferenze $D(N)$ e $I(N)$ è parallela a $BC$.

La tesi equivale a dimostrare che $IN+d(I,BC)=DN$, perchè quindi i punti di tangenza della tangente comune alle due circonferenze sarebbero alla stessa distanza da $BC$.
Ma so che $IN=\frac{R}{2}-r$ (perchè la circonferenza inscritta è tangente alla circonferenza di Feuerbach), $d(I;BC)=r$ e $DN=\frac{R}{2}$ (perchè la circonferenza di Feuerbach di centro $N$ e raggio $\frac{R}{2}$ passa per $D$); quindi $IN+d(I,BC)=\frac{R}{2}-r+r=\frac{R}{2}=DN$, da cui la tesi.

Très bien, uguale alla mia... procedi pure col prossimo

Ecco qui!