La più piccola costante tale che...

[Ido Bovski]

Sia $\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (j^2+k^2)^{-\frac{1}{2}}$. Trovare una costante positiva $C$ tale che per ogni $n\ge3$ $$n\le S_n \le Cn.$$
Bonus. Trovare la più piccola costante $C$.

p.s. soltanto il bonus non è elementare

[<enigma>]

Bel problema, peccato averlo visto solo adesso! Spero di non commettere un errore marchiano, ma "trovarla" non è difficile-basta considerare $\displaystyle \lim_{\ell \rightarrow \infty} \frac 1 \ell\iint _{[0, \ell]^2} \frac {dx dy}{\sqrt{x^2+y^2}}$-, la domanda è piuttosto se $C=1,76275\dots$ abbia un'espressione in termini di costanti/funzioni note!
(p.s. immediato per la prima domanda, la disuguaglianza di Hilbert fornisce direttamente $C=\pi \sqrt 2$)

[Ido Bovski]

la domanda è piuttosto se $C=1,76275\dots$ abbia un'espressione in termini di costanti/funzioni note!

Sì, ce l'ha, ed è anche carina

[<enigma>]

E' stata una dura lotta ma alla fine ci sono riuscito... signore e signori, vi presento $2 \log (\sqrt 2+1)$!

[Ido Bovski]

E' stata una dura lotta ma alla fine ci sono riuscito... signore e signori, vi presento $2 \log (\sqrt 2+1)$!

Giusto
Però direi che dovresti scrivere un minimo di dimostrazione!