OliForum Matematico

Vi posto un qualcosa di molto astratto e che può portare a delle conclusioni sbagliate.
Data una circonferenza$ \Gamma $ , un arco circolare $ \gamma $ congiunge due punti distinti di $ \Gamma $ ed e interno al cerchio ` C racchiuso da $ \Gamma $. Dimostrare che, se le due regioni in cui $ \gamma $ divide C hanno aree uguali, la lunghezza di $ \gamma $ supera il diametro di $ \Gamma $.
A me viene in mente la sola soluzione banale in cui la circonferenza di C coincide con $ \Gamma $ ed allora ogni arco $ \gamma >d $ perché d è il cammino più breve...(se sono opposti) altrimenti?? come lo sviluppereste voi?

La tua non è una soluzione: intanto C è la parte di piano interna a $\Gamma$, e poi se $\gamma$ e $\Gamma$ coincidono, allora sicuramente $\gamma$ non divide C in due parti uguali, quindi non rientra nelle ipotesi.

praticamente c'è un cerchio di area C e circonferenza $ \Gamma $? se cosi fosse $ \gamma $ lo dividerebbe in due parti ugual se e solo se fosse uguale al diametro!(sicuramente ho la figura sbagliata in testa)

1. Per correttezza mi sembra il caso di dire che è un problema tratto dalla prova di ammissione alla Normale di Pisa del 1993.
2.

Robertopphneimer ha scritto: lo dividerebbe in due parti ugual se e solo se fosse uguale al diametro!(sicuramente ho la figura sbagliata in testa)

Quest'ultima cosa che dici ha senso solo se ammetti che $ \gamma $ sia un segmento, ma naturalmente il testo non propone questa limitazione. $ \gamma $ può avere qualunque andamento. Prova a ripensarci.

Kopernik ha scritto:1. Per correttezza mi sembra il caso di dire che è un problema tratto dalla prova di ammissione alla Normale di Pisa del 1993.
2.

Robertopphneimer ha scritto: lo dividerebbe in due parti ugual se e solo se fosse uguale al diametro!(sicuramente ho la figura sbagliata in testa)

Quest'ultima cosa che dici ha senso solo se ammetti che $ \gamma $ sia un segmento, ma naturalmente il testo non propone questa limitazione. $ \gamma $ può avere qualunque andamento. Prova a ripensarci.

Per la sns si scusami ma poi sembra che ne sto postando 200...
In quanto a al problema io ho in mente un cerchio....$ \gamma $ può anche non essere un arco lineare giusto?' cioè $ \gamma $ può avere anche una forma sinusoidale?

Su questa linea penso per assurdo che $ \gamma $ sia minore o uguale al diametro (esso è il punto di congiunzione tra l'assurdo) .In questo caso i due punti ,creati dall'intersezione di $ \gamma $con la circonferenza $ \Gamma $, hanno un segmento (precisamente una corda )che li congiunge che è per forza minore del diametro (il percorso rettilineo è il minore possibile tra due punti ) da ciò si deduce che un $ \gamma $ minore o uguale al diametro produrrà una corda AB che è per forza minore del diametro ,essendo quest'ultimo l'unico segmento che divide la circonferenza in due parti uguali, $ \gamma $ deve essere maggiore del diametro.

Edit: bonus : più precisamente l' intersezione di $ \gamma $ con $ \Gamma $ deve formare due punti il cui segmento che li unisce dev'essere uguale al diametro??

Edit: alcune notazioni che possono confondere ,(consiglio di kopernik)

Non complicarti la vita con le sinusoidi. Pensa a $ \gamma $ come a un arco di circonferenza o di parabola. Comunque sì, può avere qualunque forma (leggere il testo: non pone alcuna limitazione).
Quanto poi al fatto che "pensi sia assurdo", è un ottimo punto di partenza: vuol dire che sei d'accordo con la tesi e che a naso avresti detto la stessa cosa. Ora però devi dimostrare...
Una preghiera: in un problema in cui si parla sia di $ \gamma $ sia di $ \Gamma $, non esprimerti dicendo "gamma". Ovviamente chi legge deve fare uno sforzo per capire di cosa stai parlando. Quindi o impari a scrivere in LaTeX o scrivi "la circonferenza gamma", "l'arco gamma" e così via.

Kopernik ha scritto:Non complicarti la vita con le sinusoidi. Pensa a $ \gamma $ come a un arco di circonferenza o di parabola. Comunque sì, può avere qualunque forma (leggere il testo: non pone alcuna limitazione).
Quanto poi al fatto che "pensi sia assurdo", è un ottimo punto di partenza: vuol dire che sei d'accordo con la tesi e che a naso avresti detto la stessa cosa. Ora però devi dimostrare...
Una preghiera: in un problema in cui si parla sia di $ \gamma $ sia di $ \Gamma $, non esprimerti dicendo "gamma". Ovviamente chi legge deve fare uno sforzo per capire di cosa stai parlando. Quindi o impari a scrivere in LaTeX o scrivi "la circonferenza gamma", "l'arco gamma" e così via.

ah si scusami. Semmai edito e penso che la mia dimostrazione tramite segmenti è giusta.(almeno diventa leggibile).
Se è giusta puoi dirmi come avresti fatto tu senza l'assurdo?

Naturalmente puoi postare la tua soluzione quando vuoi, anche senza chiedere il permesso . Poi ne discutiamo e ti posso riportare quella ufficiale, che comunque ricorre a un assurdo almeno in parte.

Kopernik ha scritto:Naturalmente puoi postare la tua soluzione quando vuoi, anche senza chiedere il permesso . Poi ne discutiamo e ti posso riportare quella ufficiale, che comunque ricorre a un assurdo almeno in parte.

Meno male...mio piace troppo quando si danno soluzioni"non ufficiali" a volte sono meno contose e più semplici.(e più eleganti ma per me questo non vale mai. )