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Una pulce affetta da una strana malattia effettua salti su un piano orizzontale in qualunque direzione, ma nel seguente modo : il primo salto è lungo 1 cm, il secondo 2 cm, il terzo 4 cm, ..., l'n-esimo $ 2_n-1 $ cm etc
Può dirigere i suoi salti in modo tale da tornare prima o poi al punto di partenza?


Secondo me no....ho provato a pensare a qualcosa tipo cerchi che si intersecano e roba varia ma non ci riesco ^^

giapippa ha scritto:Una pulce affetta da una strana malattia effettua salti su un piano orizzontale in qualunque direzione, ma nel seguente modo : il primo salto è lungo 1 cm, il secondo 2 cm, il terzo 4 cm, ..., l'n-esimo $ 2_n-1 $ cm etc
Può dirigere i suoi salti in modo tale da tornare prima o poi al punto di partenza?


Secondo me no....ho provato a pensare a qualcosa tipo cerchi che si intersecano e roba varia ma non ci riesco ^^

Secondo me non linearmente...se fa n salti il numero dei centimetri non è pari ed il salto successivo(che lo porterebbe all'indietro) è il doppio e così via se salta avanti e indietro nn ce la farà mai... prova in diagonale..del tipo teorema di pitagora ..devi trovare 3 successivi numeri la cui somma dei quadrati dia un quadrato..devi trovare tre multipli di 2 che siano una terna pitagorica(se esistono) altrimenti in generale non so che dirti.

dunque con il primo salto si può muovere lungo una circonferenza di raggio 1 (distante dal punto di partenza), ogni punto di tale circonferenza può generare un'altra circonferenza di raggio 2 e così via....non si può arrivare a dire che non si intersecherà mai con il punto di partenza ragionando in questi termini? :S

giapippa ha scritto:dunque con il primo salto si può muovere lungo una circonferenza di raggio 1 (distante dal punto di partenza), ogni punto di tale circonferenza può generare un'altra circonferenza di raggio 2 e così via....non si può arrivare a dire che non si intersecherà mai con il punto di partenza ragionando in questi termini? :S

Anche! però devi contare che ne so non va solo avanti e indietro immaginati tutte le circonferenze che si creano dopo il primo salto...dovresti sviluppare una successione..o una formula(va bene anche con le circ.penso) e poi dimostrarla per induzione(penso sempre..vediamo se qualcuno ci aiuta)

sisi ogni punto della circonferenza genera altre circonferenze di raggio 2, a loro volta quest'ultime generano altre circonferenze di raggio 4....devo dimostrare che il raggio di tutte queste circonferenze non sarà mai uguale a un certo numero....ovvero la distanza dalla zona iniziale!

giapippa ha scritto:sisi ogni punto della circonferenza genera altre circonferenze di raggio 2, a loro volta quest'ultime generano altre circonferenze di raggio 4....devo dimostrare che il raggio di tutte queste circonferenze non sarà mai uguale a un certo numero....ovvero la distanza dalla zona iniziale!

però...si in effetti devi dimostrare che queste circonferenze di raggio 2_n-1 ...allora è fatta girando intorno al punto di partenza si determineranno circonferenze sempre più grandi che che "acchiapperanno" proprio perché il valore del raggio raddoppia e per compensare non dovrebbe essere il doppio perché al massimo si può avvicinare di 1 cm al punto

puoi spiegarti meglio ? =D

giapippa ha scritto:puoi spiegarti meglio ? =D

Non ho una dimostrazione rigorosa, immagino tutte le possibili circonferenze..tu puoi tornare su punto di partenza attraverso due modi:
in modo lineare: non c'è soluzione
un pò intrecciato: ora dobbiamo dimostrare che qualsiasi punto si prende non si può tornare sul punto di partenza.
Il caso limite che ho pensato è quello più favorevole cioè una spirale spezzata...ma essa non si può creare perché il prossimo passo è maggiore del primo e quindi sta pulce non può camminare verso l'interno.
Se vogliamo vederla come linee spezzato che formano dei triangoli...non esistono terne che possano dare triangoli i cui vertici sono i tre punti a 2a 4a. capito??Ancora non sono arrivato ad un qualcosa di generale però xD.

si però come dimostri che linearmente non ci sono soluzioni? provo a fare una sorta di disegno con i primi 3 salti....si formano quasi delle circonferenze concentriche (sommando tutti i punti delle varie circonferenze)

Non sapevo che fosse un problema di Pisa; l'ho visto su un vecchio libro di gare americane.
Un suggerimento: non occorrono circonferenze o altri trucchi particolari, il problema è più facile del previsto. Espongo la soluzione ma la nascondo.

quindi basta dire che la successione 1 + o meno 2 più meno 4 ecc (non so come si scrive) non si annulla mai e ciò vale per tutte le direzioni...?

Innanzitutto fai attenzione alla precisione di quello che scrivi:
1, 2, 4, 8, ... $ 2^n $... è una successione
1$ \pm $2$ \pm $4... è la somma dei termini della successione a cui attribuisci di volta in volta un segno.
Il fatto che con qualunque distribuzione di segni la somma non sia mai nulla però non basta; sarebbe sufficiente solo se la pulce si muovesse lungo una retta. Se infatti la pulce facesse tre salti lunghi 5, 12 e 13, potrebbe tornare al punto di partenza anche se 5$ \pm $12$ \pm $13 non fa zero per nessuna distribuzione dei segni. E' invece cruciale che l'n-esimo salto sia maggiore della somma dei precedenti. Il punto chiave è che se la pulce fa n salti si troverà a una distanza dal punto di partenza minore o uguale della somma delle lunghezze dei salti fatti. Quindi si trova all'interno di un cerchio il cui raggio è la massima lunghezze possibile percorsa (che è $ 2^{n-1}-1 $, ottenuta muovendosi in linea retta). Il salto successivo ha una lunghezza di $ 2^{n-1} $; quindi la pulce non può tornare al punto di partenza. Ciò vale non solo per il salto dato, ma per tutti, quindi...

sono piuttosto frettoloso perdonami
avevo pensato addirittura di scrivere un'equazione per il generico punto P(x,y) della n-esima circonferenza e dimostrare che in un sistema di riferimento in cui l'origine è il punto di partenza, essa non poteva appartenere a nessuna delle varie circonferenze...però mi sa che era poco fattibile come cosa!
Grazie comunque per la dritta