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Sia data una sequenza $a_n$ strettamente crescente di interi positivi.
Si ha che $(m,n)=1\rightarrow a_{mn}=a_ma_n$ e $a_2=2$.
Dimostrare che $a_n=n$ per ogni $n$ intero positivo.

Intanto $a_b \geq b \ \ \forall b \in \mathbb{N}$ per la crescenza stretta della successione. Suppongo per assurdo che fino al numero $b-1$ vale $a_{b-1}=b-1$ e per il numero $b$ la tesi non vale più. Se $b$ è pari e $b/2$ è dispari allora $a_b=a_{\frac{b}{2}}a_2=\frac{b}{2}2=b$, assurdo. Se $b$ è pari e $b/2$ è pari allora $b+2$ è pari e $(b+2)/2$ è dispari, quindi $a_{b+2}=a_{\frac{b+2}{2}}a_2=\frac{b+2}{2}2=b+2$, ma è un assurdo perchè se $a_b>b$ anche $a_{b+1}>b+1$ e $a_{b+2}>b+2$ per la crescenza.
Se $b$ è dispari allora $b+1$ è pari. Se $(b+1)/2$ è dispari allora $a_{b+1}=a_{\frac{b+1}{2}}a_2=\frac{b+1}{2}2=b+1$, assurdo per la crescenza. Se $b+1/2$ è pari allora $(b+3)/2$ è dispari e equivalentemente, sempre per la crescenza trovo l assurdo, quindi $a_b=b$ per ogni $b$.

scambret ha scritto:Se $b$ è dispari [...] allora $(b+3)/2$ è dispari e equivalentemente, sempre per la crescenza trovo l assurdo

Questo è vero se $\displaystyle\frac{b+3}2\le b-1$, ovvero per $b\ge5$...
Ma il povero 3 dove lo lasci?

Drago96 ha scritto:

scambret ha scritto:Se $b$ è dispari [...] allora $(b+3)/2$ è dispari e equivalentemente, sempre per la crescenza trovo l assurdo

Questo è vero se $\displaystyle\frac{b+3}2\le b-1$, ovvero per $b\ge5$...
Ma il povero 3 dove lo lasci?

Vero!!! Bhe pero pongo $a_3=x$ quindi $a_5 \geq x+2$ e $a_{15} \geq x^2+2x$. 
Inoltre $a_6=2x$ e $a_5 \leq 2x-1$ quindi $a_{10} \leq 4x-2$, $a_9 \leq 4x-3$ e $a_{18} \leq 8x-6$. Sempre perr la crescenza $a_{15}+3 \leq a_{18}$ quindi $x^2+2x \leq a_{15}+3 \leq a_{18} \leq 8x-6$ e quindi $x^2+2x+3 \leq 8x-6$ che diventa $(x-3)^2 \leq 0$, quindi x vale per forza 3. 

Ok!
Dopo aver dimostrato la tesi per 3 si può fare un'induzione: per $n\ge2\rightarrow (n,n+1)=1$ e quindi puoi determinare $a_{n(n+1)}=n(n+1)$; ma per la crescenza, dato che hai un limite inferiore e un limite superiore molto stretti, puoi determinare tutti quelli che ci sono in mezzo e in particolare $a_{n+2}$

Con il caso 3, la dimostrazione originaria non è chiusa??

sì, quello che ho postato era un altro metodo...

Vero