OliForum Matematico

Vi sono tre sacchetti: il primo contiene 3 palline nere e 5
bianche, il secondo ne contiene 2 nere e 4 bianche ed il
terzo 3 nere e 5 bianche.
Viene scelto, a caso uno dei tre sacchetti, e da questo,
sempre a caso, viene estratta una pallina.
Sapendo che il colore di quest’ultima è nero, qual è la
probabilità che il sacchetto scelto fosse il secondo?

Secondo me c'è l'inghippo ma sono tentato dal dire 1/3 ....?

Correggetemi se scrivo qualche cavolata perché userò una formula andando a memoria.

Sia A ="secondo sacchetto estratto" e B="pallina nera estratta".
Allora $\displaystyle P(A|B) =\frac{ P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/3\cdot 2/6}{1/3\cdot3/8 +1/3\cdot 2/6 +1/3\cdot 3/8}$
$\displaystyle =\frac{1/9}{13/36}=\frac {4}{13}$

EDIT: corretto il calcolo. Prima a denominatore compariva un 5/8 invece di un 3/8, così veniva 1/4 invece di 4/13

In maniera molto più spartana, le palline nere sono 8, quelle del secondo sacchetto sono 2.
Dunque la probabilità è 2/8 cioè 1/4.

quella di Iceman me gusta

Grazie del complimento XD

Iceman93 ha scritto:In maniera molto più spartana, le palline nere sono 8, quelle del secondo sacchetto sono 2.
Dunque la probabilità è 2/8 cioè 1/4.

E invece a me non convince ... pescare una pallina nera dal secondo sacchetto non è probabile quanto pescarne una nera dal terzo o dal primo, quindi non mi torna che tu usi la formula (casi favorevoli)/(casi possibili) ... questa vale, come dicono oscenamente i libri di scuola, solo se i casi possibili sono equiprobabili, no?

Tanto è vero che il conto di auron95 fa, una volta che si corregge un errore (un 5/8 che mi sembrerebbe voler essere un 3/8), una cosa tipo 4/13.

E poi, seguendo quello che dice Iceman93, sembra che, dati tre sacchetti con
1. 3 nere e 1000000 bianche
2. 2 nere e 1 bianca
3. 3 nere e 1000000 bianche
la probabilità di aver scelto il secondo sapendo di averne pescata una nera sia sempre 1/4 ... e qui sarete d'accordo con me che, se avete in mano una pallina nera, sembra molto più probabile averla presa dal secondo che dagli altri...

Già già.... non so perchè ma ho letto che nel 3° sacchetto c'erano 5 nere e 3 bianche..... probabilmente mi sembrava strano che il 1° e il 3° sacchetto fossero uguali....

E' più probabile prenderne una nera dal secondo rispetto agli altri (caso proposto da Evariste). Ma sapendo di averne una già in mano, credo che Iceman abbia ragione. Sicuramente sbaglierò, ma ho provato a dire la mia

No no, non ci capiamo, la mia domanda non è se è più probabile prendere una nera dal secondo o una nera dal primo nel mio esempio ....sto proprio dicendo che se finisci con in mano una biglia nera sembra assai più sensato che tu abbia scelto, al primo step, il secondo sacchetto, in cui è più facile aver pescato una biglia nera... no?

Provate a cambiare un po' i numeri e vedrete che è un caso che le due "soluzioni" diano entrambe 1/4. [EDIT: non danno entrambe 1/4 neanche in questo caso, noto ora l'errore di calcolo]

Abbiamo un sacchetto con 1 pallina nera e 0 bianche, e uno con 999 nere e 0 bianche. Scegliamo a caso un sacchetto, poi una pallina da ogni sacchetto. Sapendo di avere in mano una pallina nera, qual è la probabilità di averla pescata dal primo sacchetto?

Vi convince ancora la soluzione "c'è 1 pallina nera nel primo sacchetto su 1000 in totale, quindi la probabilità è 1/1000"?

Il problema è che quando si parla di casi favorevoli e casi possibili bisogna parlare di casi *equiprobabili*. Se c'è lo stesso numero di palline $n$ in ogni sacchetto, i $3n$ casi "pesco una pallina specifica" sono tutti equiprobabili. Se no no, e bisogna tenere conto della probabilità che si verifichi ognuno di essi. Ogni caso va "pesato" con la probabilità che si verifichi. Se tutti i $3n$ casi sono equiprobabili, i pesi sono tutti $1/3n$ e possiamo fare finta che non esistano. Se no, serve la formula di auron95 [una volta aggiustato l'errore di calcolo].

Per capirci, riprendiamo il caso originale:

• 3 nere e 5 bianche
  2 nere e 4 bianche
  3 nere e 5 bianche

La situazione è analoga al seguente caso:

• 3 nere e 5 bianche
  200 nere e 400 bianche
  3 nere e 5 bianche

Infatti scegliendo il primo o il terzo non cambia niente, ma anche scegliendo il secondo non cambia (le probabilità rimangono 1 su 3 per la nera e 2 su 3 per la bianca nel secondo sacchetto).

Ma allora, applicando il ragionamento di Iceman nel primo caso ho 2/8=1/4, nel secondo ho 200/206 = 100/103. Eppure dovrebbe venire lo stesso risultato (le probabilità sono le stesse).
Quindi il ragionamento non funziona.

EDIT: scritto prima di leggere il messaggio di fph

Ok si ci sono, siete stati efficacissimi con gli esempi!

Forse per la coincidenza dei risultati, ma mi sono accorto dell'errorazzo XD Pensavo che si potesse fare anche in questo modo, oltre che con il metodo tradizionale...