$ 5x^{2}-6xy+7y^{2}=383 $
Inviato: 25 ago 2012, 17:29
Risolvere negli interi: $ 5x^{2}-6xy+7y^{2}=383 $
Moltiplicando tutto per $5$ si ha $25x^2-30xy+35y^2=1915$, ovvero $(5x-3y)^2=1915-26y^2$
Si ricava che:
1) $3|y$: infatti se così non fosse seguirebbe $RHS \equiv -1$ $(mod3)$, impossibile per un quadrato perfetto
2) $RHS \ge 0 \Rightarrow y^2 < \dfrac{1915}{26} \Rightarrow |y| \le 8$
Detto questo, ci sono tre valori possibili per $y^2$: l'unico che rende il secondo membro un quadrato perfetto è $9$, da cui $y=\pm3$
Sostituendo abbiamo $5x \mp 9=\pm 41 \Rightarrow 5x=\pm9 \pm41$, ovvero $5x=\mp32$ (non accettabile) o $5x=\pm50 \Rightarrow x=\pm10$
Le uniche soluzioni intere sono quindi $(10,3)$ e $(-10,-3)$
