OliForum Matematico

Nel tennis un set è composto da game. In ogni game batte solo un giocatore. Si vince un game totalizzando almeno 4 punti e avendo almeno due punti di distacco dall'avversario. Se un giocatore che è in battuta ha probabilità $0\le p\le1$ di fare punto, qual è la probabilità che vinca il game?

Sia $q=1-p$ (la probabilità che faccià punto chi non è in battuta).

Intanto se si trovano sul punteggio di parità con almeno 3 punti ciascuno abbiamo $p^2$ probabilità che faccia punto due volte di fila il giocatore in battuta (e che vinca il game), $q^2$ che vinca il secondo giocatore, e $2pq$ che si torni ai vantaggi. Queste $2pq$ si suddividono di nuovo come sopra, e così via. In generale le probabilità di vittoria dell'uno e dell'altro tendono ad essere proporzionali tra loro come $p^2$ e $q^2$, quindi il giocatore in battuta avrà $\displaystyle \frac{p^2}{p^2+q^2}$ probabilità di vincere il game.

Vediamo ora cosa succede sullo 0-0: supponiamo per semplicità che si giochino comunque le prime 6 battute (infatti se uno dei due giocatori arriva a 4 con due punti di scarto prima delle sei battute li mantiene sicuramente fino alla 6ª battuta, infatti arrivano al massimo a 4-2: quindi possiamo considerare solo il risultato raggiunto dopo 6 battute).

I seguenti punteggi si verificano con le seguenti probabilità:

6-0: $\displaystyle \binom{6}{0} p^6$
5-1: $\displaystyle \binom{6}{1} p^5q$
4-2: $\displaystyle \binom{6}{2} p^4q^2$
3-3: $\displaystyle \binom{6}{3} p^3q^3$

e così via.

Nei primi 3 casi vince il primo giocatore, nel 4° si va ai vantaggi.

Quindi la probabilità di vittoria per il primo giocatore è
$\displaystyle p^6+6p^5q+15p^4q^2+20p^3q^3\frac{p^2}{p^2+q^2} $

Secondo voi bisogna svilupparla sostituendo $q=1-p$?

auron95 ha scritto: 6-0: $\displaystyle \binom{6}{0} p^6$
5-1: $\displaystyle \binom{6}{1} p^5q$

questi due casi non vanno contro le ipotesi?? avrebbe vinto prima! infatti fa almeno 4 punti e lo distanzia di più di 2 punti.

E' quello che ho scritto sopra: ho supposto che le prime 6 battute si giochino comunque (un po' di esercizio fisico non fa mai male!), tanto ai fini del problema non cambia nulla: Il fatto che arrivando a 6-0 si passi dal 4-0 non è influente.
Sarebbe influente se in una situazione finale in cui non c'è vincitore si fosse passati da una situazione intermedia in cui uno ha vinto (ad esempio un 4-4 ottenuto passando da un 4-2) oppure una situazione in cui vince uno ottenuta da un punteggio in cui vince l'altro (ad esempio un 6-4 ottenuto passando da un 4-2) ma con solo 6 battute questo non può accadere: nel momento in cui uno raggiunge il 4-0 (4-1) l'avversario non potrebbe più rimontare con solo due (una) battuta a disposizione, infatti arriverebbe al massimo al 4-2 che è comunque una vittoria (non può arrivare a 4-3, che sarebbe ancora in equilibrio perché sarebbero 7 battute).

Spero di essere stato chiaro.....

auron95 ha scritto:E' quello che ho scritto sopra: ho supposto che le prime 6 battute si giochino comunque (un po' di esercizio fisico non fa mai male!), tanto ai fini del problema non cambia nulla: Il fatto che arrivando a 6-0 si passi dal 4-0 non è influente.
Sarebbe influente se in una situazione finale in cui non c'è vincitore si fosse passati da una situazione intermedia in cui uno ha vinto (ad esempio un 4-4 ottenuto passando da un 4-2) oppure una situazione in cui vince uno ottenuta da un punteggio in cui vince l'altro (ad esempio un 6-4 ottenuto passando da un 4-2) ma con solo 6 battute questo non può accadere: nel momento in cui uno raggiunge il 4-0 (4-1) l'avversario non potrebbe più rimontare con solo due (una) battuta a disposizione, infatti arriverebbe al massimo al 4-2 che è comunque una vittoria (non può arrivare a 4-3, che sarebbe ancora in equilibrio perché sarebbero 7 battute).

Spero di essere stato chiaro.....

chiarissimo e scusami non avevo letto bene..chimica mi sta distruggendo.!!!Buon lavoro auron(Problem-solver)

Io ho provato a risolverlo in modo diverso, senza che sia necessario supporre che si giochino sempre 6 scambi.
I casi in cui vince chi batte sono il 4-0, 4-1, 4-2, 3-3 con vittoria ai vantaggi. Il primo si verifica con una probabilità di $ p^4 $; il secondo evento invece è dato da quattro punti fatti ed uno subito, che possono essere ordinati facendo in modo che il punto subito non sia alla fine (altrimenti sarebbe il caso precedente) in 4 modi diversi per cui la probabilità è $ 4p^4(1-p) $; per lo stesso motivo i riordinamenti possibili del 4-2 sono 10 e quindi la probabilità è $ 10p^4(1-p)^2 $. La possibilità che il tennista vinca ai vantaggi è quella già trovata da Auron. Essendo eventi tutti disgiunti la probabilità totale è data dalla somma delle probabilità ovvero $ P=p^4+4p^4(1-p)+10p^4(1-p)^2+20\frac{p^5q^3} {p^2+q^2} $. Non so quanto possa essere valido il ragionamento.

Direi che il ragionamento è giusto: se provi a fare i conti i due risultati (il mio e il tuo). dovrebbero coincidere.