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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Antimateria
Questo problema è preso dallo stage di Pisa 2002, e si trova anche sull\'Engel, dove è risolto in modo orribile usando i vettori ed i prodotti scalari, con un mare di conti.
<BR>Manco a dirlo, c\'è una soluzione sintetica in 2 righe...
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<BR>Qual è la distanza tra due diagonali sghembe di due facce adiacenti di un cubo?
<BR>[la distanza tra rette sghembe è definita nel modo ovvio: è la minima distanza tra due punti presi rispettivamente su una e sull\'altra retta][addsig]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
Indico con 1,2,3,4 e 1\',2\',3\',4\' i vertici di due facce opposte del cubo. Siano 1\'3\' e 4\'3 due diagonali sghembe. Le distanze fra queste sono le distanze fra i piani per ognuna di esse paralli all\'altra. Cioe\' le distanze dei piani 1\'3\'2 e 4\'31 cioe\' (facendo dei conti) 1/3 della diagonale del cubo.
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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
Indico con 1,2,3,4 e 1\',2\',3\',4\' i vertici di due facce opposte del cubo. Siano 1\'3\' e 4\'3 due diagonali sghembe. Le distanze fra queste sono le distanze fra i piani per ognuna di esse paralli all\'altra. Cioe\' le distanze dei piani 1\'3\'2 e 4\'31 cioe\' (facendo dei conti) 1/3 della diagonale del cubo.
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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Antimateria
Visto che nessuno sembra piu\' pensare al problema (o state tutti costruendo cubi e misurando distanze?) dico la mia soluzione, che forse e\' piu\' intuitiva di quella di sprmnt21.
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<BR>Prima qualche generalita\' sulle rette sghembe: date 2 rette sghembe a e b (cioe\' rette nello spazio che non si toccano e non sono parallele) esistono e sono unici i punti A e B, rispettivamente su a e su b, tali che AB e\' la distanza tra a e b. E\' evidente che AB e\' ortogonale ad a e b (ed e\' l\'unica retta ortogonale ad a e b e passante per esse), e che vi sono 2 rette di simmetria (oltre ad AB stessa) dell\'insieme a unito b. Entrambe queste rette sono assi di AB, e sono ortogonali tra loro.
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<BR>Tornando al problema, siano a e b le 2 diagonali e sia s lo spigolo comune alle due facce a cui appartengono a e b. Chiamiamo r la retta che collega il centro di s con il centro del suo spigolo opposto. r e\' chiaramente una delle rette di simmetria di a unito b (perche\' ruotando a attorno ad r di 180° la si manda in b, e viceversa), dunque r e\' asse del segmento-distanza di a e b.
<BR>Cio\' significa che proiettando il cubo su un piano ortogonale ad r, le immagini di a e b sono segmenti paralleli, e la loro distanza e\' pari alla distanza tra a e b. Questo perche\' il segmento-distanza viene proiettato ortogonalmente a se\' stesso, ed inoltre e\' ortogonale ad a e b (e percio\' la sua proiezione e\' perpendicolare alle proiezioni di a e b).
<BR>Quindi, il tutto si riduce ad un\'applicazione di Pitagora, o ad un confronto con la diagonale del cubo, come faceva notare sprmnt21. Anche la diagonale del cubo e\' ortogonale a r, quindi la sua lunghezza non varia in seguito alla proiezione. Facendosi un disegnino della proiezione (il cubo diventa un rettangolo con lati di rapporto sqrt(2)) si vede che la distanza tra a e b e\' proprio 1/3 della diagonale del cubo, cioe\' lato/sqrt(3).
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da sprmnt21
Provo a chiarire (e migliorare) la mia prova.
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<BR>Faccio sempre riferimento alla figura descritta nel precedente messaggio.
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<BR>La distanza tra 1\'3\' e 4\'3 e\' data dalla distanza tra i piani paralleli 1\'3\'2 e 4\'31.
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<BR>La diagonale 2\'4 e\', per simmetria ortogonale ai suddetti piani. E questa viene divisa in tre parti uguali da questi piani come si ricava (senza fare conti, questa volta) applicando (due volte) Talete sulla figura 2\'4\'24 con la diagonale 2\'4 e le trasversali (le intersezioni dei piani paralleli 1\'3\'2 e 4\'31 con il rettangolo 2\'4\'24) che vanno da 2 al punto medio di 2\'4\' e da 4\' al punto medio di 24.
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<BR>PS
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<BR>Il fatto che la diagonale sia trisecata da piani del tipo di quelli indicati vale in genenale per qualsiasi parallelepipedo. Nel caso del cubo succede, in particolare, che la diagonale sia ortogonale ai piani secanti e quindi la distanza fra questi (o fra due rette di questi) e\' proprio la parte di diagonale fra di essi.
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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Antimateria
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-10-17 10:43, sprmnt21 wrote:
<BR>Il fatto che la diagonale sia trisecata da piani del tipo di quelli indicati vale in genenale per qualsiasi parallelepipedo.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>E\' vero! Lo si dimostra osservando che ogni parallelepipedo può essere mandato in un cubo con una trasformazione affine, e ricordando che le trasformazioni affini conservano i rapporti tra i segmenti situati sulla stessa retta.