I polinomi hanno sempre fattori comuni

[jordan]

Fissati un insieme di polinomi non costanti $ p_1(x),p_2(x),\ldots,p_n(x) $ e a coefficienti interi, mostrare che esistono dei polinomi non costanti $ q_1(x),q_2(x),\ldots,q_n(x) $ e un polinomio $ f(x)\in \mathbb{Z}[x] $ (anch'esso non costante) tale che:

$ \displaystyle f(x) \mid p_i(q_i(x)) \text{ for all }i=1,2,\ldots,n $.

[Tess]

Forse perché ho dato solo un rapido sguardo al problema, ma non riesco a trovare $q_1,q_2,f$ se prendo $p_1(x)=x^2+1$ e $p_2(x)=x^2+x+1$. A meno di totali insensatezze nei miei conti sono però giunto a dire che $f$ ha fattori di grado superiore al terzo. Un altro risultato, molto ovvio, è che se tali $q_i$ esistono, allora ne esistono di grado inferiore a quello di $f$.
Chiedo a qualcuno (magari a Jordan, visto che è tuo il problema) di illuminarmi su quali $q_i$ e quale $f$ devo prendere! Grazie!

[Simo_the_wolf]

Penso vadano bene $q_1(x)=x^3$ e $q_2(x)=-x^2$, in questo modo ottengo $x^6+1$ e $x^4-x^2+1$ e hanno come fattore comune proprio $x^4-x^2+1$.