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Trovare tutti i polinomi non costanti $f(n) \in \mathbb{Z}[x]$ tali che $f(n) \mid n^{n-1}-1$ per ogni intero $n\ge 2012$.

Chiamo bello un polinomio $f$ tale che $p|f(n)\to p|n^{n-1}-1$ con $p$ primo e $n\ge 2012$.
Dato un polinomio bello $f(x)$ dimostro che o $f$ è costante, o esiste un altro polinomio bello $A(x)$ tale che $f(x)=(x-1)A(x)$.
Sia $p$ un primo tale che $p|f(n)$. Allora $p|f(n+kp)$ per ogni $k$ e quindi usando le ipotesi ottengo $p|(n+p)^{n-1+kp}-1$
Ma la base la riduco modulo p, l'esponente lo riduco modulo $p-1$ (dato che $(p,n)=1$ )e ottengo: $p|n^{n-1+k}-1$. Quindi scegliendo il $k$ adatto modulo $p-1$ riesco ad ottenere $p|n-1$.
Con la divisione euclidea classica scrivo $f(x)=(x-1)A(x)+c$.
Ma allora vale $0\equiv f(n)\equiv c \pmod{p}$. Ora o $f$ è costante oppure esistono infiniti primi che dividono $f(n)$ e quinci $c=0$.
Ma allora $f(x)=(x-1)A(x)$.
Ma si verifica in un attimo che anche $A(x)$ è bello quindi la tesi del lemma è dimostrata.

È banale verificare che i polinomi del testo sono belli quindi ora ho ricondotto a trovare $a,m$ tali che:
$a(n-1)^m|n^{n-1}-1$
Ma ponendo $n=|a^{1000}|$ si ottiene $|a|=1$ e wlog $a=1$.
Per LTE ora si ottiene che $p|n-1$ e $p$ primo dispari implica $\upsilon_p(n^{n-1}-1)=2\upsilon_p(n-1)$
Perciò ottengo $b\le 2$. E questi soddisfano dato che per $p=2$ vale la disuguaglianza dal verso giusto per LTE.

All'ultima riga al posto della b ci andrebbe una m? Comunque, l'idea e' chiara, andato pure questo
Ps. Ma solo dario2994 prova i miei problemi?

jordan ha scritto: Ps. Ma solo dario2994 prova i miei problemi?

Credo di non essere OT perché hai sollevato tu il problema...il fatto è che credo che pochi riescano a stare al livello dei problemi che proponi jordan...non è una critica(non la prendere come tale) però sarebbe tutto più divertente (per noi poveri mortali) se magari proponessi qualcosa di più alla nostra portata.
Cioè almeno io parlo per conto mio,anche se poi vabè fai come vuoi (ripeto non la prendere come un'accusa o altro,è che come hai notato tu solo dario risponde).