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Mostrare che per ogni coppia di interi positivi $m,n$ vale $\displaystyle n \mid \left(m^{\varphi(n)}-1\right)\left(m^{\varphi(n)}+n\right)$


Ps. Qui $\varphi(n)$ e' l'indicatore di Eulero, i.e. il numero di interi positivi $\le n$ e coprimi con esso.

Sia $X$ l'insieme dei primi che dividono sia $n$ che $m$.
Sia $n=ab$ con $b$ senza primi in $X$ e $a$ formato solo da primi in $X$.
Per definizione ottengo $(b,m)=1$ e dato che $b|n$ ho anche $\varphi(b)|\varphi(n)$. Unendo questi 2 fatti arrivo a $b|m^{\phi(n)}-1$ (*)

Vale $\upsilon_p(n)<\phi(n)$ (facile facile ma noioso, vero per questioni di grandezza).
Quindi dato $p\in X$ ho $\upsilon_p(a)\le \varphi(n)$. Inoltre per definizione $\upsilon_p(m)\ge 1$.
Ma allora vale $\upsilon_p(a)\le \upsilon_p(m^{\varphi(n)})$
E quindi ottengo $a| m^{\varphi(n)}+n$ (**)

Unendo (*) e (**) ottengo la tesi.

Bene