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Trovare tutti i polinomi $ f(x) \in \mathbb{Z}[x] $ di grado $ 4 $ tali che $ 2^n-1 \mid f(n!) $ per infiniti interi positivi $ n $.

Jordan me lo dai un hintino?

Hintino: Hintone:

In effetti non e' un problema banale come gli altri..l'hint di enigma va piu' che bene

Devo essere completamente rintronato... Ho riletto il testo mille.volte e ancora non capisco dove dico la minchiata.
Il teorema di zsigmondy mi dice che esiste per ogni n un primo p tale che $ Ord_p(2)=n $ (trascurando gli n piccoli)
Ma allora vale $ n|p-1 $ e quindi p>n. E inoltre $ p|2^n-1 $.
Ma allora $ f(x)=x^4 $ non rispetta le richieste.

dario2994 ha scritto:Devo essere completamente rintronato... Ho riletto il testo mille.volte e ancora non capisco dove dico la minchiata.
Il teorema di zsigmondy mi dice che esiste per ogni n un primo p tale che $ Ord_p(2)=n $ (trascurando gli n piccoli)
Ma allora vale $ n|p-1 $ e quindi p>n. E inoltre $ p|2^n-1 $.
Ma allora $ f(x)=x^4 $ non rispetta le richieste.

E' tutto corretto quello che dici. La minchiata sta nel fatto che enigma ha scritto (per sbaglio) nell'hint 1 che tutti i polinomi di grado 4 soddisfano la richiesta, mentre invece la risposta è nessuno.

ops, chissà perché pensavo invece ad un numero finito di $n$ XD... ovviamente la risposta è l'altra