OliForum Matematico

sia n un intero positivo. Sappiamo che $2012^n=$ * * * * * * * $\cdots$ 4 * 4, cioe la cifra della centinaia e dell'unità è 4. Determinare i valori della cifra della decina.

Sono arivato a dire che possono essere solo 2 o 6 , però per dire che vanno bene mi sa che ci sono da fare un po' di conti...
Come faccio ad escludere le altre?

Semplicemente, deve valere $12^n\equiv10a+4\pmod{100}$, e quindi anche $12^n\equiv10a+4\pmod8\rightarrow2a+4\equiv0\pmod 8\rightarrow a\equiv2\pmod4$
E dato che $a<10$, per forza $a$ può essere solo $2$ o $6$

Ora bisognerebbe anche trovare degli $n$ per cui vale $12^n\equiv 424\pmod{1000}$ e $12^n\equiv 464\pmod{1000}$, in cui in realtà si possono "trsacurare" i fattori e vedere se esistono $n$ t.c. $12^n\equiv49\pmod{125}$ e $12^n\equiv89\pmod{125}$

Drago96 ha scritto:$12n\equiv 10a+4\pmod{100}$, e quindi anche $12n\equiv10a+4\pmod8$

Non ho capito questo passaggio. Perchè tiri fuori un 8 che non c'è nel 100? Perché è tutto pari forse quindi tiri fuori un fattore 2 da qualche parte? Non capisco.

auron95 ha scritto:

Drago96 ha scritto:$12n\equiv 10a+4\pmod{100}$, e quindi anche $12n\equiv10a+4\pmod8$

Non ho capito questo passaggio. Perchè tiri fuori un 8 che non c'è nel 100? Perché è tutto pari forse quindi tiri fuori un fattore 2 da qualche parte? Non capisco.

In realtà ci si arriva da $12^n \equiv 10a+404$ $(\mod 1000)$: si passa da $\mod 1000$ a $\mod 8$ e poi si toglie $8a+400$... Insomma, alla fine il risultato è sempre quello, ma è sbagliata l'implicazione...

Thanks!

Sì, scusate...
Sul foglio avevo fatto prima $\mod 100$ e poi $\mod 1000$ e nella fretta ho saltato male alcuni passaggi... xD

Mannaggiiiii, l avevo fatto sul foglio di brutta, ma pensavo che fosse totalmente sbagliato e non ho consumato minuti a "scrivere la soluzione" .... Peccato 3 punti persi!!!