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1) Sia $f(x)$ un polinomio monico a coefficienti interi. Dimostrare che se $p$ è un primo dispari e il grado di $f$ è $p-1$, allora esistono due interi $1\leq i<j\leq p$ tali che $f(i)-f(j)$ sia divisibile per $p$. Detto altrimenti, il polinomio visto come funzione da $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ in sé non è iniettivo.
2) Stesso problema ma stavolta $f$ ha come grado un generico $d>1$ divisore di $p-1$.
3) Trovare un controesempio allo stesso problema con l'ipotesi che il grado di f sia non coprimo con $p-1$.
4) È vero in generale che se $f$ ha grado minore di $p-1$ ma non coprimo con $p-1$ allora non è iniettivo?
Buon lavoro!

Voglio linkare quest'altro risultato che è in qualche modo collegato, e quindi credo possa stare bene qui
Avverto però che può essere un hint

Dato un primo $p$ e un polinomio $f\in \mathbb{Z}[x]$.L'impronta di $f$ modulo $p$ è $f(0)+f(1)+\dots + f(p-1)$ ridotto modulo $p$.
Dimostrare che $f$ è iniettivo se e solo se l'impronta di $f(x)^{p-1}$ è 1 e le impronte di $f(x),f(x)^2,\dots , f(x)^{p-2}$ sono tutte nulle.

p.s. è un iran TST recente mi pare

Detta così, conviene dimenticare anche che f sia un polinomio (cosa che peraltro modulo p si può sempre fare: ogni funzione è rappresentabile come polinomio).

In che senso ogni funzione e' rappresentabile come polinomio?

@ Anér : Hai ragione
@ Jordan enso si riferisca al fatto che data una funzione $f:\mathbb{Z}_p\to \mathbb{Z}_p$ esiste un polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ tale che $\forall n\in\mathbb{Z}_p\ P(n)\equiv f(n)\pmod{p}$

Esattamente.

dario2994 ha scritto:@ Anér : Hai ragione
@ Jordan enso si riferisca al fatto che data una funzione $f:\mathbb{Z}_p\to \mathbb{Z}_p$ esiste un polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ tale che $\forall n\in\mathbb{Z}_p\ P(n)\equiv f(n)\pmod{p}$

Questo si giustifica banalmente considerando che i valori assunti da f(n) modulo p sono solo p, quindi un polinomio di grado al massimo p-1 può passare per gli stessi punti di f(n), giusto?

ant.py ha scritto: Questo si giustifica banalmente considerando che i valori assunti da f(n) modulo p sono solo p, quindi un polinomio di grado al massimo p-1 può passare per gli stessi punti di f(n), giusto?

Nope... prova a dimostrarlo però!

dario2994 ha scritto:@ Jordan enso si riferisca al fatto che data una funzione $f:\mathbb{Z}_p\to \mathbb{Z}_p$ esiste un polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ tale che $\forall n\in\mathbb{Z}_p\ P(n)\equiv f(n)\pmod{p}$

Grazie per il chiarimento, stavo pensando alle funzioni da $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, e non era vero (a prima vista e' vero se e solo se $f$ è periodica)..