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Allora, gente... quel che segue è un problema che ha delle soluzioni facili, quindi non tirate fuori cannoni fotonici...

Sia $ABC$ un triangolo di incentro $I$ e siano $D$, $E$, $F$ i simmetrici di $I$ rispetto a $BC$, $CA$, $AB$. Dimostrare che $AD$, $BE$, $CF$ concorrono.

Probabilmente è sbagliata.
Se chiamiamo $(P, XY)$ la distanza da $P$ alla retta $XY$ e applichiamo il Teorema di Ceva nella versione con le distanze, la nostra tesi diventa:
$$\frac {(D, AB) (E, BC) (F, AC)}{(D, AC) (E, AB) (F, BC)} = 1 $$
Ora siano $H$ e $K$ le proiezioni, rispettivamente, di $D$ su $AC$ e di $E$ su $BC$. Ora, è facile vedere che i triangoli $CDH$ e $CEK$ sono congruenti, perchè hanno congruenti l'angolo retto, i segmenti $DC$ e $EC$ perchè sono entrambi simmetrici di $CI$ rispetto ad un lato e gli angoli in $C$ perchè sono sempre entrambi o uguali o supplementari a $\frac{3}{2}\alpha$, a seconda della parte di $C$ su cui cadono le perpendicolari. Da questo segue che $(D, AC) = (E, BC)$ e applicando questo ciclicamente ai tre vertici si dimostra l'uguaglianza di sopra.

Eggià ... in barba al teorema di Jacobi (qualunque cosa dica O.o).
Esercizio utile è anche calcolare esplicitamente queste distanze che nomini e ricavare in che rapporti le rette $AD$ etc dividono i lati opportuni .. chi si lancia?