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Se almeno una pulce si trova alla destra di $P$ posso far saltare tutte quelle alla sua sinistra oltre $P$, vediamo quindi cosa succede se non ne esiste nessuna oltre $P$

Sia $\lambda \ge\ 1$

Riesco facilmente a portare almeno una pulce oltre $P$ in questo modo:
faccio saltare la pulce sinistra oltre la pulce più destra ogni volta.
Chiamiamo $d$ la distanza tra le due pulci estremali: si può notare che iterando il mio procedimento $d$ non diminuisce mai, inoltre, una delle 2 pulci si è avvicinata di almeno $2d$ a $P$. Quindi se $d>0$ (grazie a Dio non stanno sullo stesso punto) posso portarle dall'altra parte.

Sia ora $\lambda\ < 1$

Mi basta trovare un controesempio: utilizzo solo 2 pulci dislocate nei punti 0 e 1 della retta orientata. Pongo $P$ più a destra di $1/{1- \lambda}$.
Ogni volta che applico la mossa la distanza tra le due pulci dimininuisce geometricamente, di conseguenza la somma di tutte le distanze $d$ sarà limitata in appunto $1/{1- \lambda}$.
Per dimostrare che la configurazione in cui le pulci si avvicinano di più a $P$ è quella in cui si muovono sempre verso destra basta notare che sia che io faccia saltare l'una sia che io faccia saltare l'altra le nuova distanze $d$ saranno equivalenti: se a questo punto considero la retta orientata è ovvio che il massimo è la somma (se mi muovessi verso sinistra perderei un addendo ma la situazione non cambierebbe)

OMMIODDIO QUANTO SCRIVO MALE

Per n = 3: Supponiamo che A sia a destra di B, che C sia sul segmento AB e che AB=1 (wlog).

Allora facento saltare B sopra A avanzo di $\lambda$ dopo A, poi facendo saltare A su B avanzo di $\lambda^2$ ecc.
Quindi posso avanzare di $\sum_{i=1}^k \lambda^i = \frac{\lambda^{k+1}-\lambda}{\lambda-1}$, per k grande quanto voglio.

Se $\lambda>1$ la somma può essere grande quanto voglio, mentre se è <1 tende a $\frac{\lambda}{1-\lambda} $
Questa sarà anche il limite della distanza tra C e i due punti A e B dopo un numero abbastanza grande di salti.
Ora se questo limite è $\geq 1$ mi ritrovo con un caso simile a quello di partenza, ma con una distanza maggiore (o uguale) tra le pulci che farò saltare (A e C) e inoltre la pulce più a destra è più a destra di A all'inizio. Quindi potrò ripetere il procedimento quanto mi pare e avanzare quanto voglio.
Se il limite è <1 la distanza percorsa diminuirà e a un certo punto non potrò più proseguire. Ne segue che $\lambda>1-\lambda \Rightarrow \lambda >\frac{1}{2}$

Sembra ora che la soluzione per un n generico sia $\lambda \ge 2^{2-n}$ ma sto ancora pensando a come dimostrarlo, penso per induzione...

$\lambda \ge \frac{1}{n-1}$ (o forse vale solo la disuguaglianza stretta?)