xXStephXx ha scritto:Tipo quella che hai postato tu moltipliando a sinistra per (a+b+c) portando tutto allo stesso grado come hanno scritto nell'hint.
Se l'ha chiesto, forse non ha capito
Una disuguaglianza si chiama
omogenea quando il membro destro e il membro sinistro sono omogenei dello stesso grado.
Qui grado va inteso in senso un po' lato ... diciamo che la nostra disuguaglianza è scritta così: $f(x_1,\ldots, x_n)\geq g(x_1,\ldots, x_n)$ dove $f$ e $g$ sono due funzioni.
Intanto, una funzione $f$ si dice omogenea se esiste un numero reale $\alpha$ tale che
$$f(k\cdot x_1,\ldots, k\cdot x_n)=k^\alpha f(x_1,\ldots, x_n)$$
si dice allora omogenea di grado $\alpha$.
Ad esempio
1) la funzione $f(a,b,c)=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$ è omogenea perché $f(ka,kb,kc)=k^4f(a,b,c)$
2) la funzione $f(x,y,z,w)=xy+yw+z^2+3x^2-5w\sqrt{xy}$ è omogenea perché $f(kx,ky,kz,kw)=k^2f(x,y,z,w)$
3) la funzione $f(x,y,z)=(x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)$ non è omogenea: se proviamo ad imporre $f(kx,ky,kz)=(k(x+y)+1)(k(y+z)+1)(k(z+x)+1)=k^\alpha(x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)$ vediamo che, ad esempio $1=f(0,0,0)=k^\alpha f(0,0,0)=k^\alpha$ per ogni $k$, quindi $\alpha=0$, ma $3^3=f(1,1,1)=2^\alpha f(1/2,1/2,1/2)=2^{\alpha}2^3$ quindi $\alpha\neq0$. Assurdo.
In generale
Un polinomio è omogeneo di grado $\alpha$ se è formato solo da monomi di grado totale $\alpha$.
Ma l'esempio 2) fa vedere che anche cose con i radicali possono essere omogenee.
Disuguaglianze
Una disuguaglianza $f(\ldots)\geq g(\ldots)$ si dice omogenea se $f$ e $g$ sono omogenee dello stesso grado. Tutte le disuguaglianze tra le medie, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la disguaglianza di riarrangiamento e varie altre sono omogenee.
Quindi questi strumenti si applicano bene alle disuguaglianze omogenee, come pure il bunching (che è una sorta di medie pesate con pilota automatico).
A volte, la disuguaglianza di partenza non è omogenea, ma si può rendere tale, perché le variabili sono anche supposte essere legate da un vincolo di qualche tipo.
Ad esempio Se $abc=1$ e abbiamo una disuguaglianza tipo
$$\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}\geq C$$
allora possiamo renderla omogenea così
$$\sum\frac{1}{a^3+b^3+abc}\geq \frac{C}{abc}$$
Oppure se abbiamo $a+b+c=1$ e una disuguaglianza tipo
$$ab+bc+ca+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2$$
possiamo renderla omogenea così
$$ab+bc+ca+(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2$$
Ad esempio sul serio Siano $a,b,c$ positivi e tali che $abc=1$, allora
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}\;.$$
Il membro sinistro ha grado $-4$, mentre il membro destro ha grado $0$ (vero?). Però sappiamo che $abc=1$, quindi, ad esempio, $a^2=(bc)^{-2}$. Riscrivendo il membro sinistro possiamo notare che
$$\frac{1}{a^2(ab+ac)}+\frac{1}{b^2(ab+bc)}+\frac{1}{c^2(ac+cb)}=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}$$
E questa roba ha grado $2$. D'altra parte, ad esempio
$$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}(abc)^{2/3}$$
e questa ha anche grado $2$.
Quindi, ad esempio la nostra disuguaglianza diventa
$$\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}\geq \frac{3}{2}(abc)^{2/3}$$
Ovviamente c'erano altri modi per renderla omogenea, ma questo è promettente: a sx ci sono i doppi prodotti e a dx c'è il quadrato del prodotto ... potrebbe esserci una am-gm da qualche parte, a patto di liberarsi di un po' di denominatori. Ad esempio con Cauchy-Schwarz:
$$\left(\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}\right)\left((ab+ac)+(bc+ba)+(ac+cb)\right)\geq (bc+ac+ab)^2$$
da cui
$$\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}\geq\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}$$
ed ora si vince per AM-GM.
Ora è chiaro?
