$2^a+3^b=5^c$
$2^a+3^b=5^c$
Trovare tutti gli interi $a,b,c$ tali che $2^a+3^b=5^c$.
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Re: $2^a+3^b=5^c$
Caso $ 1: a=0 $ allora l'equazione risulta impossibile modulo $ 2 $ con $ b>0 $.
Caso $ 2: b=0 $, allora $ 2^a+1=5^c $. Chiaramente noto che $ a=2 $ è soluzione da cui la tripla $ (2,0,1) $, dopodiché con $ a>2 $, analizzando modulo $ 8 $ si ottiene $ c $ pari. Chiamo $ c=2c_1. 2^a=(5^{c_1}-1)(5^{c_1}+1) $ le uniche potenze di $ 2 $ che distano $ 2 $ sono $ 2 $ e $ 4 $, ma esse non sono soluzioni di tale equazione ne segue che per $ b=0 $ non esistono altre soluzioni, e più in generale, $ 2^a+1=5^c $ ammette come unica soluzione la coppia $ (a,c) (2,1) $.
Caso $ 3: a=1 $. Noto immediatamente che la terna $ (1,1,1) $ è soluzione, per dimostrare che $ 2+3^b=5^c $ ammette solo una coppia di soluzioni intere, utilizzo un po' di congruenze.. supponendo $ b>1 $, e analizzando modulo $ 9 $, si ottiene che $ c\equiv 5\pmod6 $, analizzando modulo $ 25 $, si ottiene $ b\equiv 13 \pmod {20} $. Analizzando infine modulo $ 7 $, e ricordandosi che $ c\equiv 5\pmod6 $, il residuo modulo $ 7 $ di $ 5^c $ è $ 3 $. Ne segue che affinchè $ 2+3^b\equiv 3 \pmod7 $, è necessario che $ 3^b\equiv 1\pmod7 $, ovvero che $ b\equiv 0\pmod6 $. Assurdo
Caso $ 4: a=2. 4+3^b=5^c $, modulo $ 3 $ risulta $ c $ pari, chiamo $ c=2c_1 $. Utilizzando una scomposizione analoga al caso $ 2 $, si conclude dicendo che non esistono potenze di $ 3 $ distanti $ 4 $.
Caso$ 5: a>2. 3^b\equiv 5^c\pmod8 $. Ma allora $ b=2b_1 $ e $ c=2c_1 $. $ 2^a=(5^{c_1}-3^{b_1})(5^{c_1}+3^{b_1}) $.
Mi resta da trovare le soluzioni del sistema con $ x<y $ :
$ \displaystyle\left\{ \begin{array}{l} 5^{c_1}-3^{b_1}=2^x\\ 5^{c_1}+3^{b_1}=2^y \end{array} \right. $
Se sommo le due equazioni ottengo $ 5^{c_1}=2^{x-1}+2^{y-1} $. Quindi $ x=1 $ (altrimenti ci sarebbe un assurdo modulo $ 2 $) e $ y=3 $, che per il caso $ 2 $ sappiamo essere una coppia unica. Ciò ci fornisce la terna $ (4,2,2) $ che è l'ultima.
Ricapitolando, le terne accettabili sono $ 3: (a,b,c) (2,0,1); (1,1,1); (4,2,2). $
Caso $ 2: b=0 $, allora $ 2^a+1=5^c $. Chiaramente noto che $ a=2 $ è soluzione da cui la tripla $ (2,0,1) $, dopodiché con $ a>2 $, analizzando modulo $ 8 $ si ottiene $ c $ pari. Chiamo $ c=2c_1. 2^a=(5^{c_1}-1)(5^{c_1}+1) $ le uniche potenze di $ 2 $ che distano $ 2 $ sono $ 2 $ e $ 4 $, ma esse non sono soluzioni di tale equazione ne segue che per $ b=0 $ non esistono altre soluzioni, e più in generale, $ 2^a+1=5^c $ ammette come unica soluzione la coppia $ (a,c) (2,1) $.
Caso $ 3: a=1 $. Noto immediatamente che la terna $ (1,1,1) $ è soluzione, per dimostrare che $ 2+3^b=5^c $ ammette solo una coppia di soluzioni intere, utilizzo un po' di congruenze.. supponendo $ b>1 $, e analizzando modulo $ 9 $, si ottiene che $ c\equiv 5\pmod6 $, analizzando modulo $ 25 $, si ottiene $ b\equiv 13 \pmod {20} $. Analizzando infine modulo $ 7 $, e ricordandosi che $ c\equiv 5\pmod6 $, il residuo modulo $ 7 $ di $ 5^c $ è $ 3 $. Ne segue che affinchè $ 2+3^b\equiv 3 \pmod7 $, è necessario che $ 3^b\equiv 1\pmod7 $, ovvero che $ b\equiv 0\pmod6 $. Assurdo
Caso $ 4: a=2. 4+3^b=5^c $, modulo $ 3 $ risulta $ c $ pari, chiamo $ c=2c_1 $. Utilizzando una scomposizione analoga al caso $ 2 $, si conclude dicendo che non esistono potenze di $ 3 $ distanti $ 4 $.
Caso$ 5: a>2. 3^b\equiv 5^c\pmod8 $. Ma allora $ b=2b_1 $ e $ c=2c_1 $. $ 2^a=(5^{c_1}-3^{b_1})(5^{c_1}+3^{b_1}) $.
Mi resta da trovare le soluzioni del sistema con $ x<y $ :
$ \displaystyle\left\{ \begin{array}{l} 5^{c_1}-3^{b_1}=2^x\\ 5^{c_1}+3^{b_1}=2^y \end{array} \right. $
Se sommo le due equazioni ottengo $ 5^{c_1}=2^{x-1}+2^{y-1} $. Quindi $ x=1 $ (altrimenti ci sarebbe un assurdo modulo $ 2 $) e $ y=3 $, che per il caso $ 2 $ sappiamo essere una coppia unica. Ciò ci fornisce la terna $ (4,2,2) $ che è l'ultima.
Ricapitolando, le terne accettabili sono $ 3: (a,b,c) (2,0,1); (1,1,1); (4,2,2). $