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Trovare tutti gli interi $a,b$ tali che esiste un intero $c>1$ che verifica $c \mid a^n+b^n+1$ per ogni intero positivo $n$ sufficientemente grande.

Sia $(a, b, c)$ una terna "buona", per la quale cioè esiste un intero positivo $ k $ tale che $ c|a^n+b^n+1 $ $ \forall $ $ n\geq k $.
Divido due casi: $ (c, a)=(c,b)=1 $; almeno uno fra $ a $ e $ b $ (WLOG a) non è coprimo con $ c $.

CASO A: $ (c, a)=(c,b)=1 $
$ a^{k\phi(c)}+b^{k\phi(c)}+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{c} $, da cui $ c=3 $.
$ a^{2k+1}+b^{2k+1}+1 \equiv a+b+1 \equiv 0 \pmod{3} $, da cui $ a \equiv b \equiv 1 \pmod{3} $, ed è facile verificare che tale condizione è sufficiente.

CASO B: Esiste un primo $ p $ tale che $ p|(c, a) $.
Ho che $ p|b^n+1 $ $ \forall $ $ n\geq k $.
Prendendo $ n=(p-1)k $ concludo che $ p=2 $ e $b \equiv 1 \pmod{2}$.
Quindi posso porre $ a=2^{t}d $, con $ t>0 $ e $ (c, d)=1 $.
Se anche $ c $ e $ b $ avessero un divisore in comune, $ a $ dovrebbe essere dispari: assurdo. Quindi $ (c, b)=1 $.
$ a^{k\phi(c)}+b^{k\phi(c)}+1 \equiv 2^{tk\phi(c)}+2 \equiv 0 \pmod{c} $, da cui $ 2^{tk\phi(c)} \equiv -2 \pmod{c} $.
$ a^{2k\phi(c)}+b^{2k\phi(c)}+1 \equiv 2^{2tk\phi(c)}+2 \equiv 4+2 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{c} $, quindi $ c $, essendo pari, vale 2 oppure 6.
Per $ c=2 $ vedo facilmente che tutte le coppie $(a, b)$ con $ a $ pari e $ b $ dispari soddisfano.
Per $ c=6 $ noto che $ a^{2k+1}+b^{2k+1}+1 \equiv a+b+1 \equiv 0 \pmod{3} $, da cui $ a \equiv b \equiv 1 \pmod{3} $. Quindi deve valere $ a \equiv 4 \pmod{6} $ e $ b \equiv 1 \pmod{6} $, ed è facile convincersi che tale condizione è anche sufficiente.

Riepilogando: soddisfano tutte e sole le terne ($ a, b, c $) della forma $ (3s+1, 3t+1, 3) $, $ (2s, 2t+1, 2) $, $ (2s+1, 2t, 2) $, $ (6s+4, 6t+1, 6) $, $ (6s+1, 6t+4, 6) $ con $ (s, t)\in Z^2 $

Non chiedeva di trovare anche $c$, ma l'idea base c'è , bien