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Sia S un sottoinsieme non vuoto di {1,2,...,n}, e $a_1,a_2,\ldots,a_n$ dei numeri reali. Mostrare che

\[ \displaystyle \left(\sum_{i\in S}{a_i}\right)^2 \le \sum_{1\le i\le j\le n}{(a_i+\ldots+a_j)^2}\]


(Gabriel Dospinescu)

Rispolverando questo interessante problema di ?Algebra/Combinatoria! ho scoperto che questa disuguaglianza è soddisfatta $\forall S$, perché si riconduce a una del tipo $$\sum\limits_{...}(a_i+\dots + a_j )^2 \geq 0.$$Dove i puntini stanno a dire "un po' di coppie di indici $i,j$ con $1\leq i \leq j \leq n$"; cioè un po' dei termini che già ci sono a $RHS$, eventualmente ripetuti, bisogna ora capire quali.

Ed è qui che il problema diventa di combinatoria. Cerco di mettere almeno l'idea della soluzione, magari se qualcuno vorrà, e se ne avrò voglia, formalizzerò meglio domani.
Il succo è semplicemente svolgere i quadrati e vedere che dopo aver portato tutto dalla parte del $\geq 0$, si possono raccogliere tutti i doppi prodotti in quadrati.
Per farlo, mi metto a contare i coefficienti $c_{ij}$ dei termini $a_ia_j$. Prima di andare a semplificare ho facilmente $c_{ij}=2ij$. Dopo, alcuni doppi prodotti e alcuni quadrati verranno cancellati, quindi diminuiscono di 2 (o di 1). L'importante è però che sia soddisfatta ancora la proprietà di poterli raccogliere a quadrati.
Pensando di mettere questi indici in una matrice (prendiamo pure quella triangolare inferiore, senza preoccuparci del caso $i>j$), dire che sono raccoglibili nel quadrato $(a_i+\dots+a_j)^2$ vuol dire che devo avere un sottotriangolo con vertice $(i,j)$ e ipotenusa il tratto di diagonale da $(i,i)$ a $(j,j)$, con tutti gli elementi che non stanno sulla diagonale uguali a 2 e questi ultimi ovviamente a 1. Ora, e questo è il punto, questi coefficienti nella matrice sono "raccoglibili" in tanti quadrati di questo tipo se e solo se sono crescenti i $c_{i,j}$ al crescere della $i$ e della $j$ e, non solo, questa crescita deve essere crescente nell'altra direzione, o detto formalmente, $0 \leq c_{i+1,j}-c_{i,j} \leq c_{i+1,k}-c_{i,k}$ con $j\leq k$.
Chissà, risulterà qualcosa di tutto ciò comprensibile? Domani la rivedo con più calma.