OliForum Matematico

Risolvere in $\mathbb{N}$: \[ a!b!=a!+b!+c! \]

E' facile verificare che per $a=1$ e $a=2$ non ci sono soluzioni. Assumiamo quindi $a\ge 3$ e wlog $a\le b$.
Se $b\ge c$, allora $a!b!>3b!\ge a!+b!+c!$, pertanto $b<c$. Abbiamo quindi che $a!\mid b!$ e $b!\mid a!$, cioè $a=b$. Dall'equazione data ricaviamo $(a!)^2=2a!+c!$, ovvero $\displaystyle a!=\frac{c!}{a!}+2$, da cui $\displaystyle \frac{c!}{a!}\equiv 1 \pmod 3$.
Distinguiamo ora tre casi.

• Se $c=a+k$ con $k\ge 3$, allora $\displaystyle \frac{c!}{a!}=(a+1)(a+2)(a+3)\ldots (a+k)\equiv 0\not\equiv 1 \pmod 3$.
• Se $c=a+2$, allora $\displaystyle \frac{c!}{a!}=(a+1)(a+2)\equiv 0, 2 \not\equiv 1 \pmod 3$.
• Se $c=a+1$ e $a>3$, abbiamo che $(a-3)(a+1)=a(a-1)-(a+3)>0$ e quindi $\displaystyle a!>a(a-1)>a+3=\frac{c!}{a!}+2$. Invece per $a=3$ abbiamo $3!=3+3$.

Pertanto l'unica terna che soddisfa l'equazione è $(3, 3, 4)$.

Soluzione perfetta