$a^n-b^n \in \mathbb{Z}$
Inviato: 21 set 2012, 17:57
Siano $a,b$ due razionali tali che $a^n-b^n$ e' intero per infiniti interi positivi $n$. Mostrare che allora $a,b$ sono entrambi interi.
(Gabriel Dospinescu)
(Gabriel Dospinescu)
Testo nascosto:
Supponiamo che $a,b \in Q$
pertanto $a=r/s$ per qualche $r,s$ interi relativamente primi ed $s$ diverso da zero. $b=z/k$ per qualche $z,k \in Z , (z,k)=1$ e $k$ non nullo.
Si ha che $a^n-b^n=(r/s)^n-(z/k)^n$.Per ipotesi $a^n-b^n$ è un intero. Pertanto risulta che $s^nk^n=(s*k)^n=1$ da cui $sk=1$ (1)
Poiché $s,k \in Z$ la (1) vale se e solo se $s,k \in$ {-1,1}$ . ne segue allora che $a,b$ sono interi.
pertanto $a=r/s$ per qualche $r,s$ interi relativamente primi ed $s$ diverso da zero. $b=z/k$ per qualche $z,k \in Z , (z,k)=1$ e $k$ non nullo.
Si ha che $a^n-b^n=(r/s)^n-(z/k)^n$.Per ipotesi $a^n-b^n$ è un intero. Pertanto risulta che $s^nk^n=(s*k)^n=1$ da cui $sk=1$ (1)
Poiché $s,k \in Z$ la (1) vale se e solo se $s,k \in$ {-1,1}$ . ne segue allora che $a,b$ sono interi.
