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Mostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che la rappresentazione decimale di $2000^n$ comincia per $2012201220122012$

Hintone:

Piu' che hint, e' la soluzione del problema Qualcuno che spiega perchè è vera?

Prima di tutto, per comodità, chiamiamo $a$ il numero formato dalla sequenza di cifre con cui deve iniziare la nostra potenza: deve risultare $a \cdot 10^m < 2^n < (a+1) \cdot 10^m$ per qualche intero positivo $m$, ovvero

$m+\log a<n \cdot \log 2<m+\log(a+1) \Rightarrow r_1<n \cdot \log 2-m'<r_2$

dove $m'=m+\lfloor \log a \rfloor=m+\lfloor \log(a+1) \rfloor=m+15$ e $r_1,r_2$ sono rispettivamente le parti decimali di $\log a$ e $\log(a+1)$

Dobbiamo quindi trovare un $n$ tale che $n \cdot \log 2$ abbia una parte decimale compresa tra $r_1$ e $r_2$ (a quel punto basterebbe assegnare a $m'$ il valore della sua parte intera): poniamo $r_2-r_1=\epsilon$ e sia $k$ un intero positivo tale che $\dfrac{1}{k}<\epsilon$: se nell'intervallo $(0,1)$ riportiamo le parti decimali dei primi $k$ multipli di $\log 2$ (che saranno tutte diverse tra loro, altrimenti $\log 2$ risulterebbe essere razionale!), otterremo $k$ intervalli più piccoli (se si esclude quello avente $1$ come estremo superiore), almeno uno dei quali avrà necessariamente un'ampiezza $\delta<\dfrac{1}{k}<\epsilon$: detti $p$ e $q$ gli interi associati agli estremi di tale intervallo, poniamo $h=|p-q|$: per quanto detto prima, $h \cdot \log 2$ avrà una parte decimale pari a $\delta$ o a $1-\delta$, per cui, in entrambi i casi, se riportiamo, sempre sul segmento $(0,1)$ della retta numerica, le parti decimali di $h \cdot \log 2$, $2h \cdot \log 2$, $3h \cdot \log 2,...$ otterremo una sequenza di punti a una distanza $\delta$ l'uno dall'altro, e siccome $\delta<\epsilon$, almeno uno di questi punti dovrà cadere nell'intervallo $(r_1,r_2)$