OliForum Matematico

Nel triangolo (*acutangolo*) $ABC$, siano $A'$, $B'$, $C'$ i simmetrici dei vertici rispetto *all'ortocento* (e non ai lati...) e siano $D$, $E$, $F$ i piedi delle altezze.
Dimostrare che esiste un'inversione che porta $A'$, $B'$, $C'$ in $D$, $E$ ,$F$ e determinarne centro e raggio.

EDIT: tra asterischi e tra parentesi le correzioni temporanee ... finché non mi ricordo quale esercizio volevo davvero scrivere.

Dato che tutto tace, avanzerei qualche dubbio: non mi torna
Il testo lascia intendere che $ A', B', C' $ debbano andare rispettivamente in $ D, E, F $ (e pensandoci un secondo concluderei che non può che essere così), quindi sembrerebbe che il centro di inversione debba essere l'ortocentro (intersezione di $ A'D, B'E, C'F $).
Eppure non mi risulta che valga sempre $ HD \cdot HA'=HE \cdot HB'= HF \cdot HC' $ (basta prendere ad esempio un triangolo rettangolo).
Molto probabilmente sbaglio in qualcosa di ovvio.

Interessante ... chissà cosa volevo scrivere. Diciamo che per ora riformulo il problema così:
Sia $ABC$ acutangolo e siano $A'$, $B'$, $C'$ i simmetrici dei vertici rispetto all'ortocentro....
Se mi viene in mente cosa volevo dire, ve lo dico XD

Allora, innanzitutto dato che il centro dell'inversione deve essere essere allineato con ciascuna delle coppie di punti ( $A'$ e $D$ e via dicendo). Ora, dobbiamo verificare che i prodotti $HD \cdot HA'$ e ciclici sono uguali: sfruttando l'ovvio fatto che $CH=C^{'}H$ e ciclici analizziamo il prodotto $CH\cdot HF$. Dal teorema dei seni applicato a $AHC$ otteniamo che $CH= \frac {b cos\gamma}{sin(\alpha + \gamma )}$. Applicandolo poi al triangolo $AFH$ insieme con $AF= b cos\alpha$ otteniamo che $HF=\frac{b cos\alpha cos\beta}{sin\beta}$. Ora il nostro prodotto diventa $CH\cdot HF= b^{2} \frac {cos\alpha cos\beta cos\gamma}{sin\beta sin(\alpha + \gamma)}$. Usando ora i fatti $sin\beta = sin(\alpha + \gamma)$ e $\frac{b}{sin\beta}=2R$ otteniamo che $ CH\cdot HF= 4R^{2} cos\alpha cos\beta cos\gamma$. Ora quest'ultima è simmetrica in $A$, $B$ e $C$ e dunque sarà uguale per tutti e tre i vertici. Quindi i prodotti saranno uguali, l'inversione esisterà ed avrà centro in $H$ e raggio $2R \sqrt{cos\alpha cos\beta cos\gamma}$.

Ok, dove usi il fatto che è acutangolo?

Dunque, se fosse ottusangolo l'ortocentro sarebbe esterno al triangolo, pertanto almeno uno dei piedi delle altezze starebbe dalla parte opposta sulla retta dell'altezza rispetto al vertice corrispondente, e quindi l'inversione dovrebbe mandare un punto sulla parte opposta della retta che lo congiunge con il centro rispetto al centro stesso, assurdo. Credo almeno, non so nulla di inversioni.

No no, dov'è che lo usi nella tua dimostrazione