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Mostrare che per ogni intero positivo $n$ esistono degli interi positivi distinti $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tali che \[ \sum_{1\le i\le n}{a_i} \mid \sum_{1\le i\le n}{a_i^2} \]

(Russia '95)

Ponendo $\displaystyle a_1=\ 1\cdot \frac{n(n+1)}{2}$ $\displaystyle a_2=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}$, $\displaystyle a_3=\ 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}$,...,
$\displaystyle a_n=\ n\cdot \frac{n(n+1)}{2}$ si ha che la somma degli $a_i$ vale $\big( \frac{n(n+1)}{2} \big)^2$ e la somma dei quadrati degli $a_i$ è sicuramente multipla di $\big( \frac{n(n+1)}{2} \big)^2$

xXStephXx ha scritto:Ponendo $\displaystyle a_1=\ 1\cdot \frac{n(n+1)}{2}$ $\displaystyle a_2=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}$, $\displaystyle a_3=\ 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}$,...,
$\displaystyle a_n=\ n\cdot \frac{n(n+1)}{2}$ si ha che la somma degli $a_i$ vale $\big( \frac{n(n+1)}{2} \big)^2$ e la somma dei quadrati degli $a_i$ è sicuramente multipla di $\big( \frac{n(n+1)}{2} \big)^2$

Bella!

Bene