OliForum Matematico

Cesenatico 1990
5. Dimostrare che, per ogni intero x, il numero $ x^2+5x+16 $ non è divisibile per 169.

dunque $ x^2+5x+16 $ = (x+2)(x+3)+10
per x = 0 avremo 2*3 + 10 = 2 ( 3+5)
per x negativo avremo sempre che (x+2)(x+3) è pari o uguale a 0
per x positivo avremo sempre che (x+2)(x+3) è pari

quindi qualsiasi intero sia n il numero $ x^2+5x+16 $ sara' sempre pari e quindi non è divisibile per 169

Bah... o è stato mal pensato o ho sbagliato qualcosa ....

Un dispari non può essere divisibile per un pari, ma un pari può essere divisibile per un dispari...
Pensa a 3 e 6 per esempio...

nic.h.97 ha scritto: quindi qualsiasi intero sia n il numero $ x^2+5x+16 $ sara' sempre pari

Fin qui tutto ok. Quindi $x^2+5x+16=2m$ per qualche intero $m$

nich.h.97 ha scritto: e quindi non è divisibile per 169

Come dice Drago, e se $m$ fosse dispari, non vale sempre $m \mid x^2+5x+16$?

ahhaha si sapevo di aver sbagliato qualcosa

$ 2(8+{(x+2)(x+3)\over 2}-3) $
quindi $ 2(5+{(x+2)(x+3)\over 2}) $
per $ x>=0 $

per x=-1 e x=- 4 avremo che il numero è uguale a 12
per x=-2 e x=-3 avremo che il numero è uguale a 10
per $ x<=-5 $ avremo che $ n=2*(5+{(\left | x \right |-3)(\left | x \right |-2) \over 2}) $


ora $ (5+{(\left | x \right |-3)(\left | x \right |-2) \over 2}) $ e $ (5+{(x+2)(x+3)\over 2}) $
non devono essere multipli di 13*13=169.
per x=0 e x=-5 avremo n =2*8
per x=1 e x=-6 avremo n=2*11

quindi qua c'è la simmetria, mi basterebbe dimostrarlo per uno giusto?

edit. ho cambiato "non devono essere multipli di 13 "
in
"non devono essere multipli di 13*13=169"

Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto...
Sembra che tu abbia provato solo un po' di casi, non per un $x$ generico...

Un modo potrebbe essere vedere che valori lo rendono divisibile per 13, e poi vedere che quei valori non lo rendono divisibile per 169 (probabilmente c'è n'è uno più elegante, questo è il primo che mi è venuto in mente)

Drago96 ha scritto:Un modo potrebbe essere vedere che valori lo rendono divisibile per 13, e poi vedere che quei valori non lo rendono divisibile per 169

La soluzione "ufficiale" di questo problema e' molto conosciuta, per cui non la posto; la prima cosa che a me verrebbe in mente e' che:
\[ 13^2 \mid x^2+5x+16 \leftrightarrow 13^2 \mid 4(x^2+5x+16)=(2x+5)^2+39\]
Ora, continua te..

Ps. Il titolo del thread mi pare un po' inadatto comunque..

jordan ha scritto:La soluzione "ufficiale" di questo problema e' molto conosciuta, per cui non la posto

Ma esiste una soluzione ufficiale?
Quella che ho io è di giove... (ed è identica alla mia)

Drago96 ha scritto:Ma esiste una soluzione ufficiale?

Se non ricordo male, e' un vecchio Cenesatico.. e' comunque comparso già piu' di una volta su questo forum.
Non ho il libro di Paolini, ma scommetto c'è scritto:
\[ 13^2 \mid x^2+5x+16 =(x-4)^2+13x \]

jordan ha scritto: \[ 13^2 \mid x^2+5x+16 \leftrightarrow 13^2 \mid 4(x^2+5x+16)=(2x+5)^2+39\]

13(3+m) dove (2x+5)(2x+5)/13=m quindi 13(3+m) per far in modo che 13(3+m) sia divisibile per 169 dovremo avere 3+m multiplo di 13
Dopo questo ho fatto un po' di confusione...

p.s. ho modificato il titolo

Intanto, grazie per aver editato il titolo.

Riguardo il tuo svolgimento, hai posto $m:=\frac{(2x+5)^2}{13}$, e quindi hai riscritto $4(x^2+5x+16)$ come $13(m+3)$. Fin qui tutto ok, ma chi ti assicura che $m$ sia intero?

per x=4 avro' m=13 .... comunque dovrei dimostrare che m è diverso da 10+13k dove k è un intero

Pensala così: se hai un'espressione del tipo $13^2 \mid f(x)$ allora è vero che anche $13 \mid f(x)$?

no quel che hai scritto non è vero ...
tornando al mio svolgimento , se 13(3+m) è divisibile per 13*13 , allora (3+m) dev'essere un multplo di 13 , perchè avremo $ {13*13*n \over 13*13} $.
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comunque m sara' intero quando $ (2x+5) $ sara' multiplo di 13 * (un numero dispari) . se abbiamo x intero.
ad esempio per x=4 avremo che $ m= {(2x+5)^2 \over 13} $. dove $ 2x+5=13*nr dispari=13*1 $
poi l'altro x possibile è 17 , poichè $ (13*3)^2 $
poi l'altro x sara' x=30 , poichè $ (13*5)^2 $

$ m= {(2x+5)^2 \over 13} = {(13*nr disp)^2 \over 13} $

tornando a 13(3+m) ,$ m $, quindi , nei casi in cui è intero sara' per forza un multiplo di 13 . quindi $ 13(3+m)=13(3+13k) \longrightarrow m+3 \equiv 3 \pmod{13} $ e mai congruo a 0 e quindi non divisibile per 13 e di conseguenza 13(13+m) non divisibile per 169 . Rimangono i casi in cui m è razionale che comunque rende m+3 non divisibile per 13 negli interi.

Mi sembra un poco chiaro , ma corretto...

nic.h.97 ha scritto:no quel che hai scritto non è vero ...

Invece lo è..

nic.h.97 ha scritto:quindi $ 13(3+m)=13(3+13k) \longrightarrow m+3 \equiv 3 \pmod{13} $ e mai congruo a 0 e quindi non divisibile per 169 .

Ok, l'idea base l'hai presa. Ora, cercalo di dirlo meglio, non servono tutte queste sostituzioni..