$x^{k}+px=y^{k}$
Inviato: 29 set 2012, 23:30
Sia $p$ un primo e $k\ge 2$ un intero. Mostrare che esiste al massimo una coppia di $(x,y)$ interi positivi tali che
\[ x^{k}+px=y^{k} \]
\[ x^{k}+px=y^{k} \]
Siano $ x=da $, $ y=db $ con $ (a, b)=1 $.
Sostituendo e semplificando ottengo $ d^{k-1}a^k+pa=d^{k-1}b^k $.
Deve valere $ \begin{cases} a \mid d^{k-1} \\ d^{k-1} \mid pa \end{cases} $, quindi $ d^{k-1}=a \vee d^{k-1}=pa $. Distinguo i due casi.
Se $ d^{k−1}=pa $ ho $ a^k+1=b^k $. Noto che $ a-b|a^k-b^k=1 $, quindi $ b=a+1 $. Sostituendo ottengo $ a^k+1=(a+1)^k $, assurdo per $ k>1 $.
Se $ d^{k−1}=a $ ho $ a^k+p=b^k $. Come prima $ a-b|a^k-b^k=p $, quindi $ a-b $ vale 1 oppure $ p $.
Per $ b=a+p $ ottengo $ a^k+p=(a+p)^k $, assurdo per $ k>1 $.
Per $ b=a+1 $ ottengo invece $ a^k+p=(a+1)^k $, ovvero $ \displaystyle \sum_{i=0}^{k-1}{{\left(\matrix{{k}\\{i}}\right)}a^i}=p $.
Ma è banale verificare la crescenza stretta della funzione polinomiale $ \displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{k-1}{{\left(\matrix{{k}\\{i}}\right)}x^i} $ nell'intervallo $ ]0, +\infty[ $ (ovvero $ 0<x_1<x_2 \to P(x_1)<P(x_2) $), quindi esiste al più un intero positivo $ a $ tale che $ P(a) $ valga $ p $.
