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Trovare tutte le funzioni $f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ tali che
\[ f(km)+f(kn)-f(k)f(mn)\ge 1 \text{ per ogni } k,m,n \in \mathbb{N}\]

A me viene che $ f $ può essere solo costantemente uguale a $ 1 $, questo è il ragionamento:
$ i) $ metto $ \displaystyle k=m=n=0 $ ottenendo:

$ \displaystyle 2f(0)-f^2(0) \geq 1 $
$ (f(0)-1)^2 \leq 0 $

quindi perchè valga la tesi deve essere $ f(0)=1 $;

$ ii) $ metto $ k=m=n=1 $ ottenendo:

$ \displaystyle 2f(1)-f^2(1)\geq 1 $

e come prima si ottiene $ f(1)=1 $;

$ iii) $ metto $ k=0 $ ottenendo:

$ \displaystyle 2f(0)-f(0)f(m\cdot n)\geq 1 $
$ \displaystyle f(m\cdot n)\leq 1\ \ ,\ \ \forall\ m,n \in \mathbb{N} $

$ iv) $ metto $ n=0\ ,\ k=1 $ ottenendo:

$ \displaystyle f(1 \cdot m)+f(0)-f(1)f(0)\geq 1 $
$ \displaystyle f(m)\geq 1\ \ ,\ \ \forall m \in\mathbb{N} $

Ma confrontando i risultati dei punti $ iii) $ e $ iv) $ si ha che $ \displaystyle f(n)=1\ \ \forall n\in\mathbb{N} $.

Si', e' corretto, qui qualcosa di piu' generale