OliForum Matematico

Mostrare che esistono infinite coppie di interi positivi $(a,b)$ tali che $b>1$ e
\[\begin{cases} a+b \mid ab+1 \\ a-b \mid ab-1\\ a+1>b\sqrt{3} \end{cases}\]

Non basterebbe prendere $b=1$ e $a>1$? Sarebbe troppo facile per essere un tuo problema!

spugna ha scritto:Non basterebbe prendere $b=1$ e $a>1$?

Si', se non fosse che avevo dimenticato il $b>1$

Considero le successioni $ A_i $, $ B_i $ così definite:
$ \displaystyle \begin{cases} a_1=5 \\ b_1=3 \\ a_{n+1}=-a_n^2-1+3a_nb_n\\ b_{n+1}=a_n^2+1-a_nb_n \end{cases} $

Per ogni $ i $ vale la seguente relazione:
$ a_i^2+2=3b_i^2 $. Inoltre, per ogni $ i $ si ha che:
$ a_i> b_i>1 $ A questo punto è facile verificare che $ (a_i, b_i) $ soddisfa per ogni $ i $. Infatti:

$ \displaystyle a^2+2=3b^2 \leftrightarrow (a+b)(a-b)=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{4}-1 \rightarrow \begin{cases} (a+b) \mid \frac{(a+b)^2}{2}-ab-1 \\ (a-b) \mid \frac{(a-b)^2}{2}+ab-1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} (a+b) \mid ab+1 \\ (a-b) \mid ab-1 \end{cases} $

$ \displaystyle \begin{cases} a^2+2=3b^2 \\ a>1 \end{cases} \rightarrow a^2+2a+1>3b^2 \rightarrow a+1>\sqrt{3}b $ [edited]

kalu ha scritto:$ [tex] $\displaystyle \begin{cases} a^2+2>3b^2 \\ a>1 \end{cases}

Apparte il sistema qui sopra, e' tutto corretto