OliForum Matematico

Magari non interesserà nessuno, però visto che ogni tanto qualcuno chiede "perché?", mi sembra giusto provarci.
Vorrei, in questo thread, postare un po' di esercizi che vogliono arrivare alla formula delle successioni per ricorrenza, senza però calarla dal cielo.

1. Data una successione per ricorrenza
$$x_n=a x_{n-1}+bx_{n-2}+c$$
(con qualche dato iniziale che per ora non ci interessa) possiamo rappresentarla come una successione per ricorrenza in 2 variabili, ma di passo 1:
$$\left\{\begin{array}{l}x_{n}=ax_{n-1}+by_{n-1}+c\\y_n=x_{n-1}\end{array}\right.$$

1.a Data una successione a 2 variabili
$$\left\{\begin{array}{l}x_{n}=ax_{n-1}+by_{n-1}+c\\y_n=dx_{n-1}+ey_{n-1}+f\end{array}\right.$$
tale che $ae-bd\neq a+e-1$, mostrare che si può sempre "cambiare" variabili, ponendo
$$u_n=hx_n+ky_n+g,\ v_n=lx_n+my_n+i$$
di modo che si abbia
$$\left\{\begin{array}{l}u_{n}=\alpha u_{n-1}+\beta v_{n-1}\\ v_n=\gamma u_{n-1}+\delta v_{n-1}\end{array}\right.$$
ovvero che possiamo eliminare i termini noti.

1.b Capire se è sempre possibile portare una successione in 2 variabili come detto in un sistema come sopra in cui $\delta=0$ (ovvero se ogni successione in 2 variabili viene da una successione di 1 variabile di passo 2).

Fatto questo, seguiranno altri esercizi, fino alla meta (è roba abbastanza facile, non demoralizzatevi).

EDIT: corretto il punto $b$ in $\delta=0$ ed aggiunta una condizione al punto $a$.

Ecco, così ci risparmiamo Algebra3 basic l'anno prossimo.

Risposta indubbiamente produttiva ... ci fosse il "mi Spiace", ci cliccherei.

Ho una mezza idea, ma ormai sono fuori dalle olimpiadi. Visto che sono passate due settimane dall'apertura del topic, posso provare a pubblicarla ugualmente? (Non sono neanche certo che sia giusta).

mah, tanto pare non interessi

Voleva essere un sì

Sì, l'avevo capito, scusa ma in questi giorni non avevo proprio avuto tempo di ordinare il tutto e trascriverlo. Ci provo ora, credo sia giusto, ma non ci scommetterei non ho mai messo mani sulle successioni per ricorrenza.

Sfruttando $u_{n}=\alpha u_{n-1}+\beta v_{n-1}$ e $u_n=hx_n+ky_n+g$, ottengo
$$u_n=h(ax_{n-1}+by_{n-1}+c)+k(dx_{n-1}+ey_{n-1}+f)+g=\\ =(ah+dk)x_{n-1}+(bh+ek)y_{n-1}+hc+kf+g$$
Ora, $h$ e $k$ possono essere scelte arbitrariamente (e direi che conviene porre $h=k=1$), avendo cura di prendere $g=-(hc+kf)$ pongo $\alpha=(ah+dk), \beta=(bh+ek), x_{n-1}=u_{n-1}, y_{n-1}=v_{n-1}$. Ripeto gli stessi passaggi su $v_n$ e, prendendo $l$ ed $m$ arbitrari (ma non troppo, per il punto b al quale arrivo tra un attimo) scelgo $i=-(lc+mf)$ pongo $\gamma=(al+dm), \delta=(bl+em), x_{n-1}=u_{n-1}, y_{n-1}=v_{n-1}$. Così ottengo una nuova successione in due variabili legata alla prima da quelle relazioni, ma senza termini noti, come richiesto. Per il punto b basta osservare che scegliendo $l$ ed $m$ legati dalla relazione $l=-\frac{d}{a}m$, $\gamma$ si annulla sempre (ma non sarebbe meglio annullare $\delta$?), e anche qui conviene porre $m=1$ e $l=-\frac{d}{a}$. Va bene?

Hm no. Se fissi h,k e g, poi non puoi imporre $x_{n-1}=u_{n-1}$ ...