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Per ogni $ a \in \mathbb{N}_0 $ trovare tutti gli interi positivi $ x $ tali che $ \varphi(ax) = x $, dove $\varphi(\cdot)$ indica la funzione di Eulero.

(Carlo Sanna)

Per $x=1$, otteniamo $\varphi(a) =1$, da cui le soluzioni $(a,x) = (1,1);(2,1)$.
Sia ora $\displaystyle x =2^{\beta} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot ... \cdot p_k^{\beta_k}$, dove i $p_i$ sono primi dispari; il testo diventa
\[
\varphi(a \cdot 2^{\beta} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot ... \cdot p_k^{\beta_k}) = 2^{\beta} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot ... \cdot p_k^{\beta_k}
\]
Distinguo i casi in base a quanti essi sono.

• se $k \geq 2$, non può valere l'uguaglianza dal momento che $\displaystyle v_2(LHS) = v_2\left(a\right) +\beta-1 + \sum_{i=1}^{k} v_2 \left(\varphi\left(p_i^{\beta_i}\right)\right) = v_2\left(a\right) +\beta -1 + \sum_{i=1}^{k} v_2 \left(p_i^{\beta_{i} -1}\left(p_i -1\right)\right) \geq v_2\left(a\right) +\beta -1 +k > \beta = v_2\left(RHS\right)$.
• se $k=0$, il testo diventa $\varphi \left(a \cdot 2^{\beta}\right)= 2^{\beta}$.
  Se $(a,2) =1$, diventa $\varphi(a) \cdot 2^{\beta -1} = 2^{\beta} \rightarrow \varphi(a) =2 \rightarrow a=3$ (6 è inaccettabile, è pari). Perciò $(a,x) = (3, 2^{\beta})$ è soluzione.
  Altrimenti, vale $a =2^{\alpha}d$, con $d$ dispari. Diventa $\varphi \left(a \cdot 2^{\beta}\right) = \varphi \left(2^{\alpha}d \cdot 2^{\beta}\right) = 2^{\beta + \alpha -1} \cdot \varphi \left(d\right)= 2^{\beta} \rightarrow \alpha = 1, d=1$. Pertanto $(a,x) = (2, 2^{\beta})$ è soluzione.
• Se $k=1$, il testo diventa $\varphi \left(a \cdot 2^{\beta} \cdot p^k \right)= 2^{\beta} \cdot p^k$. Deve valere $v_p(a) =1$, quindi $a= 2^{\alpha}dp$, con $(d,p) =1$; riscrivo come $\varphi \left(2^{\alpha}d \cdot 2^{\beta} \cdot p^{k+1} \right)= 2^{\beta +\alpha -1} \cdot p^k(p-1) \cdot \varphi(d) = 2^{\beta} \cdot p^k$.
  Ma $p-1 = 2c$, quindi il LHS dell'ultima uguaglianza diventa: $2^{\beta +\alpha} \cdot p^kc \cdot \varphi(d) = 2^{\beta} \cdot p^k$
  da cui $\alpha = 0, c=d=1, p=3$. Pertanto $(a,x) = (3, 2^{\beta} \cdot 3^k)$ è soluzione.

Concludo: per $a>3$, non esistono interi $x$ che verificano; per $1 \leq a \leq 3$, le soluzioni sono della forma mostrata sopra.