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Sia $p(x)$ un polinomio non costante a coefficienti interi. Mostrare che esistono infiniti primi $q$ tali che $q\mid 2^n+p(n)$ per qualche intero positivo $n$.

Suppongo che l'insieme $ Q $ dei primi che dividono $ 2^n+p(n) $ per qualche $ n $ sia finito.
Sia $ k $ intero positivo tale che: $$\displaystyle 2p(0)\biggl(1+p(0)\biggl) \prod_{q\in Q/\{2\}}{q(q-1)} \mid k$$
Per ogni $ q\in Q/\{2\} $ ho che:
$$\begin{cases} q-1 \mid k \\ q \mid k \end{cases} \to 2^k+p(k) \equiv 1+p(0) \pmod{q}$$
Quindi, detto $ T $ l'insieme dei primi $ t \in Q/\{2\} $ tali che $ t \mid 1+p(0) $, tutti i numeri primi che dividono $ 2^k+p(k) $ devono appartenere all'insieme $ T \cup \{2\} $.
Per ogni $ t \in T $, sia $ v_t $ l'altezza $ t $-adica di $ 1+p(0) $. Allora : $$\begin{cases} t^{v_t}(t-1) \mid k \\ t^{v_t+1} \mid k \end{cases} \to 2^k+p(k) \equiv 1+p(0) \not\equiv 0 \pmod{t^{v_t+1}}$$
Inoltre, detta $ v_2 $ l'altezza 2-adica di $ p(0) $, noto che: $$\begin{cases} v_2+1<k \\ 2^{v_2+1} \mid k \end{cases} \to 2^k+p(k) \equiv p(0) \not\equiv 0 \pmod{2^{v_2+1}}$$
Quindi: $$2^k+p(k)\mid 2^{v_2}\prod_{t \in T}t^{v_t}\mid p(0)\biggl(1+p(0)\biggl)$$
Ma, potendo scegliere $ k $ arbitrariamente grandi, noto che vale definitivamente $ 2^k>|p(k)|+\biggl|p(0)\biggl(1+p(0)\biggl)\biggl| $.
Assurdo.