Esiste un arco di parabola lungo 4 in una cerchio r=1
Inviato: 09 ott 2012, 01:04
Come da titolo esiste un arco di parabola di lunghezza 4 interamente contenuto in una circonferenza di raggio unitario ? (estremi compresi)
Direi di no, ovvero solo una degenere ("un diametro considerato andata e ritorno").
Se c'è un modo meno "contoso" perché ho fatto un po' di calcoli.
$ \left\{\begin{matrix}
y=ax^{2}-1 & & \\
x^{2}+y^{2}=1 & &
\end{matrix}\right. $
Considero per accorciare un po'
$ a > 1 $
Ora facendo un po' di conti, trovo le intersezioni tra parabola e circonferenza. Banalmente una è nel vertice della parabola
$ V(0;-1) $
Le altre due in
$ A (\frac{\sqrt{2a-1}}{a}; \frac{a-1}{a}) $
$ B(-\frac{\sqrt{2a-1}}{a}; \frac{a-1}{a}) $
Considero adesso (sfruttando la simmetria), solo l'arco di parabola VA.
In particolare, determino il punto A' (esterno alla circonferenza) che sia l'interesezione della parallela all'asse delle ascisse passante per V con la parallela all'asse delle ordinate per A, e quindi avrò:
$ A'(\frac{\sqrt{2a-1}}{a};-1) $
La lunghezza dell'arco di parabola VA sarà compresa tra la lunghezza del segmento VA e la lunghezza della spezzata VA'+A'A
$ \overline{VA} = \sqrt{(\frac{\sqrt{2a-1}}{a}-0)^{2}+(\frac{a-1}{a}+1)^{2}} = ... = \sqrt{\frac{(2a-1)^{2}(\frac{1}{2a-1}+1)}{a^{2}}}=\frac{2a-1}{a}\sqrt{...} $
$ \overline{VA'}+\overline{A'A}=...=\frac{\sqrt{2a-1}+2a-1}{a} $
E queste espressioni, per $ a\rightarrow +\infty $, tendono a 2.