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Dimostrare che: $$\displaystyle \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq\frac{a+b+c}{2}$$ per ogni terna $ (a, b, c) $ di reali positivi.

Applico Cauchy-Schwarz alle terne:
$$ ( \frac{a}{\sqrt{a+b}}, \frac{b}{\sqrt{b+c}}, \frac{c}{\sqrt{c+a}}) \ ; \ ( \sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{c+a}) $$
E ottengo che:
$$\displaystyle (\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a})\cdot 2 \cdot (a+b+c) \geq (a+b+c)^2 $$
$$\displaystyle (\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}) \geq \frac{a+b+c}{2} $$
Che è la tesi.

Lemma di Titu

Date due $n$-uple $a_i,b_i$, con i $b_i$ positivi, vale
$$\displaystyle\sum\frac{a_i^2}{b_i}\ge\frac{\left(\sum a_i\right)^2}{\sum b_i}$$

Che poi in realtà non è nient'altro che una forma di C-S per le frazioni...

Ok, era facile
A te Karl Zsigmondy