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Dimostrare che per ogni a, b, c reali positivi vale:
$$ \sum_{cyc}{\frac{a^2}{b^2+c^2}} \geq \sum_{cyc}{\frac{a}{b+c}} $$

Mi pare un po' troppo calcolosa come soluzione, ma nulla di difficile... magari c'è un metodo più veloce, ma su per giù non l'ho trovato..
Dunque

$\displaystyle \sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2+c^2} \ge \sum_{cyc} \frac{a}{b+c}$
Da ciò segue che la differenza tra LHS e RHS è maggiore uguale a 0.
valutiamo:
$\displaystyle \frac{a^2}{b^2+c^2} - \frac{a}{b+c}= \frac{a^2c+a^2b-c^2a-b^ca}{(b^2+c^2)(b+c)}= \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}$
Ora simmetricamente si sviluppano le altre due coppie
notiamo che abbiamo una disequazione di questo tipo:
$\displaystyle \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{bc(b-c)+ba(b-a)}{(a^2+c^2)(a+c)}+\frac{ac(c-a)+cb(c-b)}{(b^2+a^2)(b+a)}= \sum_{cyc} ab(a-b)\cdot \left(\frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{1}{(a+c)(a^2+c^2)}\right)$

sviluppando dentro le parentesi otteniamo al numeratore:
$\displaystyle a^3+a^2c+ac^2+c^3-b^3-b^2c-bc^2-c^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)+c(a+b)(a-b)+c^2(a-b)= \frac{a-b}{2}\cdot \sum_{cyc} (a+b)^2$
Otteniamo dunque
$\displaystyle \sum_{cyc} ab(a-b)\cdot \left(\frac{(a-b)\cdot \sum_{cyc} (a+b)^2}{2(b^2+c^2)(b+c)(a^2+c^2)(a+c)}\right)= \sum_{cyc} ab(a-b)^2\cdot \left(\frac{\sum_{cyc} (a+b)^2}{2(b^2+c^2)(b+c)(a^2+c^2)(a+c)}\right)\ge 0$

Esatto, questa era veramente calcolosa, anche la mia soluzione era così, ma spero vivamente dentro di me che ce ne sia una "bella"... comunque vai pure col prossimo!

per mancanza di tempo ti cedo il mio turno.

ps. quel $\displaystyle b^2+c^2$ sembrava messo li apposta per richiamare $\displaystyle (b+c)^2>b^2+c^2$... ed invece nulla, veniva qualcosa di non sempre vero lol

petroliopg ha scritto:per mancanza di tempo ti cedo il mio turno.

Visto che nessuno dei due posto il nuovo, chi la fa al posto loro?

boh, fallo tu se ti va
posso estendere la rinuncia a tutti quelli che hanno tempo di controllare e qualcosa di interessante da proporre

saluti