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Ciao,
stavo rispolverando i miei appunti di Analisi Matematica I, quando ho trovato alcuni punti che non mi convincevano. Nelle seguenti proposizioni, se è vero che sono vere, perchè lo sono? E se è vero che sono false, è vera la spiegazione che do? cioè, è giusto l'errore?

Prop.1: Condizione necessaria affinchè $ f $ sia iniettiva è che sia continua e definita in un intervallo del suo dominio$ Dom(f) $.
Errore: non dovrebbe essere $ f^-1 $ continua e definita in un intervallo del codominio $ Im(f) $?

Prop.2: Se in un punto $ x_0 $ esistono i limiti $ \displaystyle lim_{h\rightarrow 0^{\pm}} {\frac {f(x_0 + h) - f(x_0)} {h}} $ , di cui almeno uno è reale, allora $ x_0 $ è un punto angoloso.
Errore: non manca l'aggettivo "diversi" dopo "esistono"?

Infine, avrei una domanda riguardante il polinomio di Taylor: una volta trovati i coefficienti del polinomio di grado n, e definito il resto di grado n come $ R_n = f(x) - p_n (x) $ con $ \displaystyle lim_{x \rightarrow x_0} {R_n (x)} = 0 $, perchè dovrebbe essere il resto un infinitesimo di ordine superiore a $ (x - x_0)^n $?

Ringrazio tutti per l'attenzione,

SARLANGA

SARLANGA ha scritto: Prop.1: Condizione necessaria affinchè $ f $ sia iniettiva è che sia continua e definita in un intervallo del suo dominio$ Dom(f) $.
Errore: non dovrebbe essere $ f^-1 $ continua e definita in un intervallo del codominio $ Im(f) $?

Cosa intendi per $ f^-1 $?

SARLANGA ha scritto:Prop.2: Se in un punto $ x_0 $ esistono i limiti $ \displaystyle lim_{h\rightarrow 0^{\pm}} {\frac {f(x_0 + h) - f(x_0)} {h}} $ , di cui almeno uno è reale, allora $ x_0 $ è un punto angoloso.
Errore: non manca l'aggettivo "diversi" dopo "esistono"?

Sì. La definizione di punto angoloso non credo sia unica comunque, ad esempio quel "di cui almeno uno è reale" , può essere un "entrambi reali"

SARLANGA ha scritto:Infine, avrei una domanda riguardante il polinomio di Taylor: una volta trovati i coefficienti del polinomio di grado n, e definito il resto di grado n come $ R_n = f(x) - p_n (x) $ con $ \displaystyle lim_{x \rightarrow x_0} {R_n (x)} = 0 $, perchè dovrebbe essere il resto un infinitesimo di ordine superiore a $ (x - x_0)^n $?

In che senso perché? C'è una dimostrazione che ti dice ciò. Non l'hai capita e vuoi spiegazioni oppure non ho capito io la tua domanda?

Per la domanda 3, nulla da aggiungere a quello che ha scritto ndp15. La prop. 1 non vedo modo di aggiustarla. Qualunque enunciato leggermente modificato che provo a dare è comunque clamorosamente falso. La prop. 2 in pratica è una definizione di "punto angoloso", quindi non ha senso chiedersi se è vera o falsa. Non c'è neppure una definizione standard di "punto angoloso" con cui confrontarla. In ogni caso se hai già dato analisi 1 ti consiglio di dimenticarti concetti come questi: parlare di "punti angolosi" e cercare (invano) di classificare le varie discontinuità e patologie delle funzioni non serve a nulla ed è entomologia più che matematica (senza offesa per gli entomologi).

ndp15 ha scritto:

SARLANGA ha scritto: Cosa intendi per $ f^-1 $?

Intendevo la funzione inversa, ma mi ha già rassicurato fph.

ndp15 ha scritto: In che senso perché? C'è una dimostrazione che ti dice ciò. Non l'hai capita e vuoi spiegazioni oppure non ho capito io la tua domanda?

Siccome non l'ho trovata la dimostrazione di questo, mi chiedevo perché il resto R dovesse essere un $ o((x - x_0)^n) $. Dal momento che sembra una dimostrazione abbastanza semplice, c'è qualcuno che me la può indicare gentilmente?

Usa de l'Hopital $n$ volte su $$\frac{f(x)-p_n(x)}{(x-x_0)^n}$$.

fph ha scritto:Per la domanda 3, nulla da aggiungere a quello che ha scritto ndp15. La prop. 1 non vedo modo di aggiustarla. Qualunque enunciato leggermente modificato che provo a dare è comunque clamorosamente falso. La prop. 2 in pratica è una definizione di "punto angoloso", quindi non ha senso chiedersi se è vera o falsa. Non c'è neppure una definizione standard di "punto angoloso" con cui confrontarla. In ogni caso se hai già dato analisi 1 ti consiglio di dimenticarti concetti come questi: parlare di "punti angolosi" e cercare (invano) di classificare le varie discontinuità e patologie delle funzioni non serve a nulla ed è entomologia più che matematica (senza offesa per gli entomologi).

A volte mi chiedo quanta entomologia serva ad analisi...è solo un modo per fissare le idee e comunicare niente di costruttivo dal punto di vista logico e operativo.

serva, piuttosto... comunque, a difesa dei vari testi di analisi, più nomi e definizioni si danno, più è facile insegnare la materia e impararla meccanicamente, cosa che capita spesso alle superiori e alle facoltà scientifiche in cui la matematica è (giustamente) un mezzo e non un fine.

Chiedo venia per l'errore, comunque il tuo discorso verte sul concetto "studiare ciò che serve" il che implica che alcune facoltà scientifiche necessitano solo di una matematica meccanica ?

il che implica che ti serve saper usare la matematica e non saperla fare. Ad un ingegnere non serve saper fare dimostrazioni, ma conti. Ad un biologo serve saper leggere e condurre statistiche, non la dimostrazione del cambio di variabili in integrale multiplo.

EvaristeG ha scritto:il che implica che ti serve saper usare la matematica e non saperla fare. Ad un ingegnere non serve saper fare dimostrazioni, ma conti. Ad un biologo serve saper leggere e condurre statistiche, non la dimostrazione del cambio di variabili in integrale multiplo.

Non fa una piega.