$n^3<a<b<c<(n+1)^3$ e $abc=d^3$
Inviato: 15 ott 2012, 23:59
Mostrare che se $n$ e' sufficientemente grande allora esistono interi $a,b,c$ tali che $abc$ e' un cubo e $n^3<a<b<c<(n+1)^3$.
Testo nascosto:
Sì vabbé prendo $a^2; a^2+a; a^2+2a+1$ e per $n$ grande esiste $a$ per questa roba:
-assurdo su 2 quadrati consecuitivi: esistono sicuramente tra $n^3$ e $(n^{\frac{3}{2}}+2)^2$ (ovviamente se prendo le radici e aggiungo 2 avrò almeno due naturali che salto), ma questo è sicuramente minore di $(n+1)^3$:
\begin{equation}
(n^{\frac{3}{2}}+2)^2<(n+1)^3
\end{equation}
\begin{equation}
n^3+4+2n^\frac{3}{2}<n^3+3n^2+3n+1
\end{equation}
Che per $n$ grande è verificata in quanto il mio LHS è di grado $\frac{3}{2}$ e il mio RHS $2$
-assurdo su 2 quadrati consecuitivi: esistono sicuramente tra $n^3$ e $(n^{\frac{3}{2}}+2)^2$ (ovviamente se prendo le radici e aggiungo 2 avrò almeno due naturali che salto), ma questo è sicuramente minore di $(n+1)^3$:
\begin{equation}
(n^{\frac{3}{2}}+2)^2<(n+1)^3
\end{equation}
\begin{equation}
n^3+4+2n^\frac{3}{2}<n^3+3n^2+3n+1
\end{equation}
Che per $n$ grande è verificata in quanto il mio LHS è di grado $\frac{3}{2}$ e il mio RHS $2$