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Poniamo $x \ge z \ge y$ (comunque simpatiche le radici che sembrano disegnate con paint)
Intanto notiamo che la disuguaglianza si comporta bene con le traslazioni: ovvero posso sostituire $x$ con $x+k$ e cicliche e essenzialmente il mio coso non cambia:
\begin{equation}
\sqrt{|(x+k)-(y+k)|}+\sqrt{|(y+k)-(z+k)|}+\sqrt{|(x+k)-(z+k)|}=
\end{equation}
\begin{equation}
=\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|x-z|}+\sqrt{|y-z|}
\end{equation}

Posso quindi wloggare su $y$, che pongo uguale a 0.
Notiamo ora che il massimo deve essere raggiunto con $x=1$, per questo motivo (per comodità tolgo subito i valori assoluti per il mio WLOG iniziale):
\begin{equation}
\sqrt{x}+\sqrt{z}+\sqrt{x-z}
\end{equation}
E' evidente che all'aumentare di $x$ il mio mostro aumenta, quindi il massimo è con $x=1$

Ora claimo come massimo $\sqrt{2}+1$ e dimostro con $x=1$ e $y=0$ che funge:
\begin{equation}
\sqrt{1}+\sqrt{z}+\sqrt{1-z} \le 1+\sqrt{2}
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{z}+\sqrt{1-z} \le \sqrt{2}
\end{equation}
\begin{equation}
z+1-z+2\sqrt{z-z^2} \le 2
\end{equation}
\begin{equation}
2\sqrt{z-z^2} \le 1
\end{equation}
\begin{equation}
4z-4z^2 \le 1
\end{equation}
Che è ontologicamente vero. Ora fornisco un esempio, ovvero $x=1; y=0; z=\frac{1}{2}$:
\begin{equation}
\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{1}+\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}+1
\end{equation}