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Mostrare che per ogni coppia di reali $x,y$ tali che $0<x<y<1$ esiste un intero positivo $n$ tale che
\[ x<\left\{1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\right\}<y \]

Ps. $\{m\}:=m-\lfloor m \rfloor$ per ogni reale $m$..

Supponiamo per assurdo che per ogni $k \in \mathbb{N}$ non ci sia un $H_n$ compreso tra $k+x$ e $k+y$: allora esisterebbe un intero positivo $a_k$ tale che $H_{a_k} \ge k+y$ e $H_{a_k-1} \le k+x$, da cui seguirebbe per sottrazione membro a membro $\dfrac{1}{a_k} \ge y-x \Rightarrow a_k \le \dfrac{1}{y-x}$, ma a infiniti valori di $k$ dovrebbero corrispondere infiniti $a_k$, il che a questo punto è chiaramente impossibile

l'ho notato solo ora cercando altre cose... non penso la tua soluzione sia corretta, perché si applicherebbe anche alla serie i cui termini sono $1/2^n$ che però ha parte frazionaria 0 oppure sempre maggiore di 1/2... cosa c'è da dire in più (che chiaramente mi sembra dai per assodato, ma è meglio dirlo)?

forse non ho capito bene il problema,in quanto la parte frazionaria della serie armonica crea una corrispondenza tra gli n(naturali) e i numeri reali tra 0 e 1.Ma la cardinalita di questi due insiemi é diversa,in particolare ci saranno dei buchi nell' intervallo tra 0 e 1 cosiché possiamo trovare degli x e y reali per cui non esiste nessun n che sodisfi la proprieta del problema.Dove é che sbaglio?Nei problemi in cui si deve dimostrare l esistenza di qualcosa non sono mai riuscito a risolvergli.La corrispondenza l' ho trovata per assurdo supponendo che per due n diversi abbiamo la stessa parte frazionariadella serie armonica ,ma ciò ha portato a un assurdo.

relue123 ha scritto:... cosiché possiamo trovare degli x e y reali per cui non esiste nessun n che sodisfi la proprieta del problema.

Sbagli in questo: se l'insieme degli $\{H_n\}$ fosse davvero $[0,1)$, allora il problema avrebbe chiesto di mostrare che per ogni $x \in [0,1)$ esiste un intero $n(x)$ tale che $\{H_{n(x)}\}=x$. Ma questo non è vero poichè $\{H_n\} \in \mathbb{Q}$. Dei "buchi" esistono, ma devi mostrare che non esiste alcun intervallo $(a,b)$ composto esclusivamente di "buchi"..

Simo_the_wolf ha scritto:l'ho notato solo ora cercando altre cose... non penso la tua soluzione sia corretta, perché si applicherebbe anche alla serie i cui termini sono $1/2^n$ che però ha parte frazionaria 0 oppure sempre maggiore di 1/2... cosa c'è da dire in più (che chiaramente mi sembra dai per assodato, ma è meglio dirlo)?

Mmm... per caso il fatto che la somma di tutti gli $\dfrac{1}{n}$ diverge..?

In generale, data una sequenza \((a_n) \in (a,b)\), si può dire quando è densa in \((a,b)\)?
P.S. Non so se la terminologia è esatta, l'ho scritto un pò a naso