OliForum Matematico

qualcuno ha qualche dispensa sulla sua teoria dei gruppi/può dirmi dove trovarla/ha voglia di postare qualcosa/conosce qualche buon libro sull\'argomento???qualcosa che vada abbastanza nel particolare, se riuscite...
 grazie <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Un bel libro, dal quale ho studiato la teoria dei gruppi e\'
 \"Teoria dei Gruppi\" (originale....)
 Autore: non me lo ricordo bene, ma forse e\' Lipschitz, ti so dire meglio questo fine settimana.
 era pubblicato dalla \"ETAS Libri\" Collana Schaum\'s, poi la collana e\' passata alla McGrawHill.
 Il libro e\' buono (molto...), sono sei capitoli (molto corposi, e gli utlimi due piuttosto high level).
 Livello universitario, anche se parte dalle basi.
 Difetto: prezzo, dovrebbe essere circa 20 euri...
 Spero sia ancora in pubblicazione...la McGrawHill sta passando un periodo di crisi...
 
 Ce ne sarebbero altri, ma sono quelli che risentono ancora di una certa influenza bourbakitica...se ti interessano cmq, te li dico. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 Cmq a me pare ottimo quel libro di teoria dei gruppi.

cos\'è la teoria dei gruppi? di che cosa si occupa? cosa permette di fare?

è una teoria legata alle radici delle equazioni polinomiali, e in particolare al fatto che siano o meno calcolabili applicando le normali operazioni algebriche + estrazioni di radici ai coefficienti del polinomio, se non sbaglio
 thnx catraga <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 21-10-2003 17:46 ]

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 Ce ne sarebbero altri, ma sono quelli che risentono ancora di una certa influenza bourbakitica...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 nel senso che sono + semplici?

Hai mai sentito parlare di Nicholas Bourbaki??
 Lui non esiste, e\' solo uno pseudonimo di un gruppo di matematici (Cartan, Diedounne\' Weil etc..)
 che decise di dimostrare \"l\'estrema coerenza dell\'edificio matematico\" attraverso una super assiomatizzazione di tutto: dagli insiemi alle Algebre di lie. Io ho studiato dal Bourbaki l\'algebra, non lo consiglio a nessuno, amencohe\' uno non sia veramente appassionato..se uno lo e\' (come me) puo\' anche risultare divertente, e poi c\'e\' la soddisfazione di aver studiato da alcuni dei libri piu\' difficili del mondo (lo ammetto, mi sono fermato al capitolo 5 del secondo libro... poi ne andava della mia sanita\' mentale...).
 
 La teoria dei gruppi non serve solo a quello. Allora un gruppo e\' una struttura algebrica (ovvero un insieme dotato di operzioni, come ad esempio (N,+) o (R,*)) dotato di un\'operazione binaria $ che abbia le seguenti proprieta\':
 1) Sia INTERNA p.o. a,b in A, a$b e\' in A
 2) esite elemento NEUTRO e t.c. a$e=e$a=a
 3) p.o. a in A, esiste a\" (INVERSO) t.c. a$a\"=a\"$a=e
 se $ e\' commutativa, allora il gruppo e\' detto gruppo abeliano.
 
 Con questa struttura poui fare tantissime cose: studiare la funzione mod, proprieta\' dei numeri in Z(n), gruppi di Galois, criteri di divisibilita\' tra polinomi, chimica, grafi e tantissime altre cose (gia\' queste richiedono una certa padronanza della teoria, poi alcune sono estremamente high level)
 
 Un piccolo probelmino sui gruppi...
 Dimostrare che in un gruppo (G,+), esiste una ed una sola identita\' e, p.o. a in G, esiste uno ed un solo elemento inverso. (Ocio! \"+\" non e\' l\'addizione ma una generica operazione binaria! Ovvero una funzione da GxG a G)
 
 Non trovate che sia stupendo tutto cio\'??
 
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Si chiede anche che $ sia associativa, cioè per ogni a, b, c in A sia a$(b$c)=(a$b)$c

ok, grazie Catraga. è tutto molto interessante.

la sapevo la storia di bourbaki + o -
 cmq nella mia domanda mi riferivo in particolare ai gruppi di Galois e alle loro applicazioni alle equazioni polinomiali, non alla teoria dei gruppi \"in generale\"

Aspetta allora che ne cerco un altro migliore, ti so dire domani, o, al piu\' statsera.
 
 Allora teoria dei gruppi applicata alle equazioni e teoria di galois corretto?
 Si,grazie.
 Figurati.

Alura, ho trovato tutte le info sul libro che fa per te (forse...)
 Titolo: \"Gruppi, corpi, equazioni\"
 Autori : \"Zappa, Permutti\"
 Pubblicato: boh, prima Fletrinelli, poi Boringhieri
 
 Breve descrizione:
 Passa dai gruppi, agli omomorfismi, gruppi relazionali, moduli e campi. Poi conclude con la fantastica teoria di Galois e le sue applicazioni...
 
 Difficolta\': Media.
 Prezzo: chi se lo ricorda?
 
 Questa non e\' pubblicita\'.

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 On 2003-10-22 07:39, Catraga wrote:
 Un piccolo probelmino sui gruppi...
 Dimostrare che in un gruppo (G,+) esiste uno ed un solo elemento inverso.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Per elemento inverso intendi quel numero x\' tale che x+x\'=Elemento neutro del gruppo?

Si, l\'elemento inverso è quello. Se preferisci dimostra l\'unicità dell\'elemento neutro, mi è sempre piaciuta come dimostrazione

Scusatemi tanto, ma trattasi di questione decisamente... banale! Proviamo innanzitutto (come suggerito da PublioS.) l\'unicità dell\'elemento neutro.
 
 Per assurdo, ammettiamo che siano e\' ed e\'\' due elementi distinti di A ambedue neutri rispetto all\'operazione interna binaria + definita sull\'insieme. In tal caso, secondo definizione, comunque scelto un x€A, deve avvenire che:
 
 x + e\' = e\' + x = x (1)
 
 x + e\'\' = e\'\' + x = x (2)
 
 onde dedurne evidentemente (sottolineo il fatto che e\' ed e\'\' sono elementi dell\'insieme A) che:
 
 e\' = [Ponendo x = e\' nella (2)] = e\' + e\'\' = [Ponendo x = e\'\' nella (1)] = e\'\'
 
 ovvero e\' = e\'\', contro l\'ipotesi secondo cui e\' ed e\'\' sarebbero invece due elementi distinti! L\'assurdo, nato dall\'aver supposto che l\'elemento neutro del gruppo algebrico (A,+) non fosse univocamente determinato, implica (per contraddizione) la consistenza dell\'asserto, q.e.d.
 
 Ciò stabilito, dimostriamo per finire che, comunque fissato un x€A, l\'elemento simmetrico di x (la cui esistenza è garantita dalle proprietà che, per definizione, \"investono\" la coppia (A,+) della \"dignità\" di gruppo algebrico) è unico. Difatti, fissato arbitrariamente un x€A, ammettiamo per assurdo che esistano due altri elementi x\' ed x\'\' distinti in A ambedue simmetrici di x rispetto all\'operazione +, ovvero tali che:
 
 x + x\' = x\' + x = e\' (3)
 
 x + x\'\' = x\'\' + x = e\' (4)
 
 ove e\' indica l\'elemento neutro del gruppo, la cui esistenza è anch\'essa garantita dagli assiomi di definizione e la cui unicità è invece assicurata dalle argomentazioni promosse nella prima parte di questo mio post. Allora (si ricordi che x\' ed x\'\' sono entrambi elementi dell\'insieme A):
 
 x\' = [Ponendo x = x\' nella (1)] = x\' + e\' = [Per la (4)] = x\' + (x + x\'\') =
 
 = [Per l\'associatività di cui gode l\'applicazione binaria + in quanto operazione
 
 interna di un gruppo] = (x\' + x) + x\'\' = [Per la (3)] = e\' + x\'\' =
 
 = [Ponendo x = x\'\' nella (1)] = x\'\'
 
 ovvero x\' = x\'\', contro l\'ipotesi secondo cui x\' ed x\'\' sarebbero invece due elementi distinti! L\'assurdo, nato dall\'aver supposto che il simmetrico di ogni elemento del gruppo algebrico (A,+) non fosse univocamente determinato, implica (per contraddizione) la consistenza dell\'asserto, q.e.d.

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 On 2003-10-24 20:54, massiminozippy wrote:
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 On 2003-10-22 07:39, Catraga wrote:
 Un piccolo probelmino sui gruppi...
 Dimostrare che in un gruppo (G,+) esiste uno ed un solo elemento inverso.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Per elemento inverso intendi quel numero x\' tale che x+x\'=Elemento neutro del gruppo?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Non esattamente, massimino! Per ogni x€A, si dice che x\' in A è l\'elemento simmetrico o opposto di x rispetto all\'operazione interna binaria del gruppo (A,+) se: x + x\' = x\' + x = e, essendo e il neutro della struttura algebrica. Difatti, la commutatività dell\'operazione + non è richiesta fra gli assiomi di definizione di un gruppo, ed è tuttavia una proprietà essenziale per dimostrare l\'unicità del simmetrico (la cui esistenza è garantita invece dagli assiomi stessi)! A meno di non assumere come corretta definizione (ed è questa la scelta più ragionevole nonché l\'unica effettivamente riconosciuta dalla comunità Matematica internazionale...) quella che sopra mi sono permesso di riportare, e non l\'altra (dunque, imprecisa!) suggerita da PublioS.! Lo dico solo per amor di verità, non di certo per offendere la dignità di nessuno! Spero soltanto di non esser (come al solito) frainteso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">