Esagono equiangolo - oliforum contest, probl 3
Inviato: 26 ott 2012, 22:35
Mostrare che se un esagono equiangolo ha (in ordine) lati $a,b,c,d,e,f$ allora $a-d=e-b=c-f$.
Testo nascosto:
Considero i lati come vettori, con verso rivolto al vertice successivo, in modo che $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}=0$
Ora $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{d}$ sono ovviamente antiparalleli in quanto gli angoli sono tutti di 120°, e lo stesso vale per le altre coppie.
Se sommo a due a due i vettori antiparalleli ottengo 3 vettori, le cui direzioni sono tre rette che formano angoli di 60° quando si intersecano, e ovviamente i vettori devono formare angoli di 120° tra di loro, altrimenti la somma vettoriale non potrebbe essere 0.
Inoltre sommandone due dobbiamo ottenere un vettore con stessa direzione del terzo e verso opposto, ma siccome la retta su cui sta il terzo è la bisettrice dei primi due, allora la diagonale del parallelogrammo formato da essi dev'essere anche bisettrice, quindi il parall. è un rombo. Da ciò si deduce che i tre vettori somma sono anche uguali in modulo.
Ma per quanto detto prima se
$||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}||=||\overrightarrow{e}+\overrightarrow{b}||=||\overrightarrow{c}+\overrightarrow{f}||$
allora
$|a-d|=|e-b|=|c-f|$
(sono antiparalleli a due a due)
Resta solo da dimostrare che concordano anche in segno.
Questo si può vedere facilmente, infatti i tre vettori somma hanno lo stesso verso di $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c},\overrightarrow{e}$ (oppure tutti il verso opposto)
poichè devono formare angoli di 120°. Quindi a>d, e>b, c>f (o viceversa se hanno tutti verso opposto).
Ora $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{d}$ sono ovviamente antiparalleli in quanto gli angoli sono tutti di 120°, e lo stesso vale per le altre coppie.
Se sommo a due a due i vettori antiparalleli ottengo 3 vettori, le cui direzioni sono tre rette che formano angoli di 60° quando si intersecano, e ovviamente i vettori devono formare angoli di 120° tra di loro, altrimenti la somma vettoriale non potrebbe essere 0.
Inoltre sommandone due dobbiamo ottenere un vettore con stessa direzione del terzo e verso opposto, ma siccome la retta su cui sta il terzo è la bisettrice dei primi due, allora la diagonale del parallelogrammo formato da essi dev'essere anche bisettrice, quindi il parall. è un rombo. Da ciò si deduce che i tre vettori somma sono anche uguali in modulo.
Ma per quanto detto prima se
$||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}||=||\overrightarrow{e}+\overrightarrow{b}||=||\overrightarrow{c}+\overrightarrow{f}||$
allora
$|a-d|=|e-b|=|c-f|$
(sono antiparalleli a due a due)
Resta solo da dimostrare che concordano anche in segno.
Questo si può vedere facilmente, infatti i tre vettori somma hanno lo stesso verso di $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c},\overrightarrow{e}$ (oppure tutti il verso opposto)
poichè devono formare angoli di 120°. Quindi a>d, e>b, c>f (o viceversa se hanno tutti verso opposto).
