OliForum Matematico

Sia scritti su una lavagna i numeri $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{2012}$. Prendiamo due numeri $x,y$ tra questi e li sostituiamo con $x+y+xy$, fine ad ottenere un unico numero. Quali sono i possibili valori di questo numero?

L'operazione proposta corrisponde a $f(x,y)=(x+1)(y+1)-1$. Sia $A$ l'insieme di numeri proposto. Chiamo $f(x_1,x_2, \dots , x_n) = \prod_{j=1}^{n}(x_j+1)-1$ Anzitutto è evidente che l'ordine con cui si ordinano gli $x_j$ non è influente.

Fatto 1: $\displaystyle f(f(x_1,\dots x_n),x_{n+1}) = \left( \prod_{j=1}^{n}(x_j+1)-1+1 \right) (x_{n+1}+1)-1 = f(x_1, \dots , x_{n+1})$
Fatto 2: Con $\{ a_1, \dots ,a_j\} \cap \{ b_1, \dots ,b_k\} = \varnothing$, dove $\{ a_1, \dots ,a_j\}$ e $\{ b_1, \dots ,b_k\}$ appartengono ad $A$, si ha che $\displaystyle f(f(a_1,\dots a_j),f(b_1 , \dots , b_k)) = \left( \prod_{h=1}^{j}(a_h+1)-1+1\right) \left( \prod_{h=1}^{k}(b_h+1)-1+1 \right) -1 = f(a_1,\dots , a_j,b_1 , \dots ,b_k)$

Si conclude quindi che alla fine l'unico risultato possibile è $\displaystyle f\left( 1,\frac{1}{2}, \dots , \frac{1}{2012} \right) = \prod_{j=1}^{2012}\left( \frac{1}{j}+1\right)-1$

Esatto