64. Non abbandono le funzionali!
Inviato: 02 nov 2012, 17:31
Trovare tutte le funzioni $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ tali che $f(1)=2$ e $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$
Sostituendo $y=0$ abbiamo che $(f(x)-1)(f(0)-1)=0$, pertanto $f(x)\equiv 1$ oppure $f(0)=1$. Per ipotesi $f(1)=2$, dunque analizziamo soltanto il secondo caso.
Ponendo $y=1$ nell'equazione data, otteniamo $f(x+1)=(f(1)-1)f(x)+1=f(x)+1$. Sia ora $n$ un numero intero, allora $f(x+n)=f((x+n-1)+1)=f(x+n-1)+1=\ldots =f(x)+n$ e, in particolare, poiché $f(0)=1$, sostituendo $x=0$ abbiamo $f(n)=n+1$.
Ponendo $y=n$ nell'equazione iniziale, abbiamo che $f(x+n)=f(x)f(n)-f(xn)+1$, allora $f(x)+n=f(x)f(n)-f(xn)+1$, da cui $\displaystyle f(x)=\frac{1}{n}\left(f(xn)-1\right)+1$. Sostituendo $\displaystyle x=\frac{m}{n}$, ovvero un qualsiasi numero razionale, nell'equazione precedente, abbiamo che $\displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{1}{n}\left(f(m)-1\right)+1=\frac{1}{n}\left((m+1)-1\right)+1=\frac{m}{n}+1$.
Pertanto è dimostrato che $f(x)=x+1$ per ogni $x\in\mathbb{Q}$ ed è facile verificare che questa funzione soddisfa l'equazione data.