$\sqrt{\frac{4x^3-3x+1}{2}}\in \mathbb{Z}$
Inviato: 06 nov 2012, 20:58
Mostrare che esistono almeno $31$ interi positivi $x$ minori di $2012$ tali che $\sqrt{\frac{4x^3-3x+1}{2}}$ è intero
(Donova, 2005)
(Donova, 2005)
$ (2x-1)^2\cdot(x+1)=2k^2 $
Si ha dunque che $ (2x-1)^2=m^2 $ e $ x+1=2n^2 $. con $ m\cdot{n}=k. $ Ma per$ x<2012 $, il numero di interi espressi nella forma $ 2n^2 $ sono solo $ 31 $. Ciò garantisce che ce ne siano sicuramente $ 31 $ (infatti $ \lfloor\sqrt{2013\over{2}}\rfloor=31) $. La condizione almeno invece è certificata dal fatto che il caso generale sia $ (2x-1)^2=a\cdot{m^2} $ e $ x+1={2\cdot(n^2)\over{a}} $ e viceversa (il fattore $ 2 $)