$d_7^2+d_{10}^2=\left(\frac{n}{d_{22}}\right)^2$

[jordan]

Sia $n$ un intero positivo con divisori $1=d_1<d_2<\ldots<d_m=n$. Trovare tutti gli $n$ tali che $m\ge 22$ e $d_7^2+d_{10}^2=\left(\frac{n}{d_{22}}\right)^2$

[Leonida]

E' ben più facile di quanto sembra!
Hint:

Testo nascosto:

n deve essere divisibile per tutti gli interi tra 1 e 6. Perchè? E allora?

[spugna]

E' ben più facile di quanto sembra!
Hint:

Testo nascosto:

n deve essere divisibile per tutti gli interi tra 1 e 6. Perchè? E allora?

Uffa, perché nei problemi di TDN non ho mai queste illuminazioni? Comunque...

Divisibilità per 3: se $n$ non fosse multiplo di $3$, i quadrati di tutti i suoi divisori sarebbero $\equiv 1$ $(\mod 3)$ e sostituendo nell'ipotesi si avrebbe $2 \equiv 1$ $(\mod 3)$

Divisibilità per 4: un quadrato perfetto può essere congruo a $0,1,4$ $(\mod8)$: nel nostro caso, le uniche possibilità di soddisfare l'ipotesi sono
$0+0 \equiv 0$
$0+1 \equiv 1$
$0+4 \equiv 4$
$4+4 \equiv 0$
In ogni caso c'è un divisore il cui quadrato è divisibile per $8$, e quindi anche per $16$: tale divisore è dunque un multiplo di $4$, e lo stesso deve valere per $n$

Divisibilità per 5: procediamo in modo analogo con i resti$\mod 5$, che sono $0$ e $\pm 1$:
$0+0 \equiv 0$
$0+1 \equiv 1$
$0-1 \equiv -1$
$1-1 \equiv 0$
Da qui si ricavano le stesse conclusioni di prima

Prima di procedere osserviamo che se $n=d_a \cdot d_b$, allora $m=a+b-1$

Ora, sappiamo che $n$ è divisibile per $1,2,3,4,5,6,10$, dunque si deve avere $d_7 \le 10$, perché in caso contrario avremmo $7$ divisori minori di $d_7$, il che è impossibile, per cui abbiamo 4 casi:

1) $d_7=7 \Rightarrow 49+d_{10}^2=\left( \dfrac{n}{d_{22}} \right)^2 \Rightarrow d_{10}=24 \wedge \dfrac{n}{d_{22}}=25$: Ciò è impossibile perché tra $d_7$ e $d_{10}$ devono esserci esattamente due divisori, mentre qui ne abbiamo almeno sette: $8,10,12,14,15,20,21$

2) $d_7=8 \Rightarrow 64+d_{10}^2=\left( \dfrac{n}{d_{22}} \right)^2 \Rightarrow d_{10}=15 \wedge \dfrac{n}{d_{22}}=17$ ($6$ e $10$ non vanno bene perché si avrebbe $d_{10}<d_7$): se $15$ è il decimo divisore, allora $17$ è l'undicesimo o il dodicesimo, da cui segue $m=32$ oppure $m=33$, ma se $n$ avesse $33$ divisori sarebbe esprimibile come $p^{32}$ o $p^2 \cdot q^{10}$ con $p$ e $q$ primi, ma $n$ ha almeno tre divisori primi ($2,3,5$), dunque $m=32 \Rightarrow 17=d_{11} \Rightarrow n$ non è divisibile per $16$. Per quanto ottenuto finora, abbiamo $n=2^3 \cdot 3^a \cdot 5^b \cdot 17^c \cdot...$, con $a,b,c \ge 1$, da cui $m=4(a+1)(b+1)(c+1) \cdot ... \ge 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1=32$. Devono quindi valere tutti i casi di uguaglianza, che ci portano a
$n=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot (qualsiasi$ $altro$ $numero$ $primo)^0=2040$

3) $d_7=9 \Rightarrow 81+d_{10}^2=\left( \dfrac{n}{d_{22}} \right)^2 \Rightarrow d_{10}=12 \wedge \dfrac{n}{d_{22}}=15$ ($40$ e $41$ non vanno bene per lo stesso motivo del primo caso): $15$ può essere l'undicesimo, il dodicesimo o il tredicesimo divisore, per cui $32 \le m \le 34$, ma $33$ e $34$ non vanno bene per lo stesso motivo del caso 2, dunque $m=32$, ma se $d_6=6$ e $d_7=9$, allora $8$ non può essere un divisore di $n$, la cui fattorizzazione è dunque $n=2^2 \cdot ... \Rightarrow 3|m$, che è falso

4) $d_7=10 \Rightarrow 100+d_{10}^2=\left( \dfrac{n}{d_{22}} \right)^2 \Rightarrow d_{10}=24 \wedge \dfrac{n}{d_{22}}=26$: impossibile per lo stesso motivo del caso 1.

Dunque l'unico $n$ che soddisfa l'ipotesi è (o meglio, dovrebbe essere ) $2040$