Sia $ ABC $ un triangolo e $ X $ un punto sul suo circocerchio. Detto $ X' $ il simmetrico di $ X $ rispetto a $ BC $, sia $ Y $ il punto medio di $ AX' $.
Determinare il luogo descritto da $ Y $ al variare di $ X $.
Luogo
Re: Luogo
Perdonate la brutalità della mia soluzione.
Fissiamo l'origine degli assi cartesiani nel circocentro $ O $ ed essendo il problema invariante per omotetie e rotazioni fissiamo il raggio della circonferenza circoscritta uguale a $ 1 $ e il lato $ BC $ parallelo all'asse delle ascisse. Ora, i punti $ B $ e $ C $ avranno la stessa ascissa, che chiamiamo $ k $, e ordinate opposte visto che sono chiaramente simmetrici rispetto all'asse delle ordinate. Scriviamo quindi $ B(-\sqrt{1-k^2}; k) $ e $ C(\sqrt{1-k^2}; k) $. Detta $ a $ l'ascissa del punto $ A $, scriviamo $ A(a ; \sqrt{1-a^2}) $.
Scriviamo ora il punto $ X $ come $ (z ;\pm \sqrt{1-z^2}) $. Una simmetria rispetto ad una retta orizzontale $ y=k $ lascia l'acissa invariata e manda un'ordinata generica $ y $ nel punto di ordinata $ y^{'}=2k-y $. Per cui le coordinate del punto $ X^{'} $ saranno $ (z ; 2k\mp \sqrt{1-z^2}) $. Applicando la nota formula del punto medio di un segmento otteniamo $ Y(\frac{z+a}{2} ; \frac{2k+ \sqrt{1-a^2} \mp \sqrt{1-z^2}}{2} ) $.
Detta $ x $ l'ascissa di $ Y $ ricaviamo che $ z=2x-a $. Sostituendola nell'espressione dell'ordinata di $ Y $ (che chiameremo $ y $) otteniamo che:
$$\mp \sqrt{1-4x^2+4xa-a^2}=2k+ \sqrt{1-a^2}-2y$$
Elevando e svolgendo due conti:
$$x^2+y^2-xa-y(2k+ \sqrt{1-a^2})+k^2+k \sqrt{1-a^2}=0$$
Il luogo è allora evidentemente una circonferenza. Sappiamo che in una generica circonferenza di equazione $ x^2+y^2+ax+by+c=0 $ il centro $ C $ ha coordinate $ C(-\frac{a}{2} ; -\frac{b}{2}) $ e raggio $ R=\sqrt{ \frac{a^2}{4}+ \frac{b^2}{4}- c} $. Applicando queste due formule alla nostra circonferenza, ricaviamo $ C(\frac{a}{2} ; \frac{2k+ \sqrt{1-a^2}}{2}) $ e $ R=\frac {1}{2} $. Notiamo che l'ascissa del centro altro non è che la somma delle ascisse dei vertici del triangolo diviso $2$ e che lo stesso vale anche per l'ordinata. Ora, è un fatto noto che, fissato un sistema di riferimento cartesiano nel circocentro di un triangolo, l'ortocentro dello stesso triangolo avrà come coordinate la somma, rispettivamente, delle ascisse e delle ordinate dei vertici. Questo ci basta per concludere che il centro della circonferenza sarà il punto medio fra l'origine(il circocentro) e l'ortocentro, cioè che tale punto è il centro della circonferenza di Feuerbach del triangolo. La circonferenza di Feuerbach ha inoltre il raggio lungo la metà rispetto al raggio della circonfereza circoscritta, che qui vale $1$. Pertanto il luogo trovato è la circonferenza di Feuerbach del triangolo $ABC$.
Fissiamo l'origine degli assi cartesiani nel circocentro $ O $ ed essendo il problema invariante per omotetie e rotazioni fissiamo il raggio della circonferenza circoscritta uguale a $ 1 $ e il lato $ BC $ parallelo all'asse delle ascisse. Ora, i punti $ B $ e $ C $ avranno la stessa ascissa, che chiamiamo $ k $, e ordinate opposte visto che sono chiaramente simmetrici rispetto all'asse delle ordinate. Scriviamo quindi $ B(-\sqrt{1-k^2}; k) $ e $ C(\sqrt{1-k^2}; k) $. Detta $ a $ l'ascissa del punto $ A $, scriviamo $ A(a ; \sqrt{1-a^2}) $.
Scriviamo ora il punto $ X $ come $ (z ;\pm \sqrt{1-z^2}) $. Una simmetria rispetto ad una retta orizzontale $ y=k $ lascia l'acissa invariata e manda un'ordinata generica $ y $ nel punto di ordinata $ y^{'}=2k-y $. Per cui le coordinate del punto $ X^{'} $ saranno $ (z ; 2k\mp \sqrt{1-z^2}) $. Applicando la nota formula del punto medio di un segmento otteniamo $ Y(\frac{z+a}{2} ; \frac{2k+ \sqrt{1-a^2} \mp \sqrt{1-z^2}}{2} ) $.
Detta $ x $ l'ascissa di $ Y $ ricaviamo che $ z=2x-a $. Sostituendola nell'espressione dell'ordinata di $ Y $ (che chiameremo $ y $) otteniamo che:
$$\mp \sqrt{1-4x^2+4xa-a^2}=2k+ \sqrt{1-a^2}-2y$$
Elevando e svolgendo due conti:
$$x^2+y^2-xa-y(2k+ \sqrt{1-a^2})+k^2+k \sqrt{1-a^2}=0$$
Il luogo è allora evidentemente una circonferenza. Sappiamo che in una generica circonferenza di equazione $ x^2+y^2+ax+by+c=0 $ il centro $ C $ ha coordinate $ C(-\frac{a}{2} ; -\frac{b}{2}) $ e raggio $ R=\sqrt{ \frac{a^2}{4}+ \frac{b^2}{4}- c} $. Applicando queste due formule alla nostra circonferenza, ricaviamo $ C(\frac{a}{2} ; \frac{2k+ \sqrt{1-a^2}}{2}) $ e $ R=\frac {1}{2} $. Notiamo che l'ascissa del centro altro non è che la somma delle ascisse dei vertici del triangolo diviso $2$ e che lo stesso vale anche per l'ordinata. Ora, è un fatto noto che, fissato un sistema di riferimento cartesiano nel circocentro di un triangolo, l'ortocentro dello stesso triangolo avrà come coordinate la somma, rispettivamente, delle ascisse e delle ordinate dei vertici. Questo ci basta per concludere che il centro della circonferenza sarà il punto medio fra l'origine(il circocentro) e l'ortocentro, cioè che tale punto è il centro della circonferenza di Feuerbach del triangolo. La circonferenza di Feuerbach ha inoltre il raggio lungo la metà rispetto al raggio della circonfereza circoscritta, che qui vale $1$. Pertanto il luogo trovato è la circonferenza di Feuerbach del triangolo $ABC$.
Ultima modifica di Kfp il 14 nov 2012, 17:02, modificato 1 volta in totale.
"Signora, lei sì che ha le palle, mica come quella checca di suo figlio"
"La zuppa magica dedicata a te Gianluca"
"È "iamo", non rompere i coglioni"
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